Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 17 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 4,5 m/s² pagreičiu. Kokiu atstumu nuo savo pradinio taško policijos automobilis pasiveja? Raskite d.

v_car = 17 m/sa_police = 4,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 11 s greitėja 2,5 m/s² pagreičiu, tada 6 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 2 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą kelionės trukmę t.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 11 st₂ = 6 sa₃ = −2 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

20 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 30° kampą virš horizontalės, 110 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 20 kgF = 110 Nθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

6,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 3,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 32 m/s greičiu 35° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 78 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 32 m/sθ = 35°x = 78 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 25° kampu į horizontą nuo 45 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 23 m/sθ = 25°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 100 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 100 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

270 m spindulio posūkis turi 20° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 270 mθ = 20°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

2,5 kg kūnas nuslysta 14 m nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,25. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 2,5 kgθ = 25°μ = 0,25d = 14 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kaladėlė iš rimties būsenos 35° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 45 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 6 m aukštyn šlaitu.

m = 5 kgF = 45 Nθ = 35°μ = 0,2d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

10 g kulka horizontaliai įšaunama į 2,5 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 11 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 10 gM = 2,5 kgh = 11 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

8 g kulka horizontaliai įšaunama į 5 kg tašelį, kabantį ant lengvų 0,9 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 25° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 8 gM = 5 kgL = 0,9 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

1,6 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 210 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 17 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 4 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 1,6 kgk = 210 N/mA = 17 cmx = 4 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 230 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 19 cm amplitude. Raskite spyruoklėje sukauptą energiją U, kai krovinys yra 4 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 230 N/mA = 19 cmx = 4 cm

U = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

400 Hz dažnio šaltinis, judantis 34 m/s greičiu, ir stebėtojas, judantis 10 m/s greičiu, tolsta vienas nuo kito. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Stovintis jutiklis siunčia 30 kHz ultragarsą į automobilį, artėjantį 10 m/s greičiu, ir aidą sumaišo su skleidžiamu signalu. Raskite mūšos dažnį f_b (garso greitis 343 m/s).

f = 30 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 128,4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·17/4,5 = 7,556 s

Kelias

d = v·t = 17·7,556 = 128,4 m

Atsakymas

d = 128,4 m

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 34 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: t = 30,75 s

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 2,5·11 = 27,5 m/s

Stabdymo trukmė

t₃ = v/a₃ = 27,5/2 = 13,75 s

Bendra trukmė

t = 11 + 6 + 13,75 = 30,75 s

Atsakymas

t = 30,75 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,351 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 110·sin 30° = 141,2 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 95,26 − 28,24

a = 67,02/20 = 3,351 m/s²

Atsakymas

a = 3,351 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 24,55 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 6,377)/10 = 2,796 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6,5·2,796 + 6,377 = 24,55 N

Atsakymas

T = 24,55 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 11,19 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 32·cos 35° = 26,21 m/s

t = x/v_x = 78/26,21 = 2,976 s

Aukštis tuo momentu

y = 18,35·2,976 − ½·9,81·2,976² = 11,19 m

Atsakymas

y = 11,19 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 87,08 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 25° = 20,85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 25° = 9,72 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 45 + 9,72·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,72 + √(94,48 + 882,9))/9,81 = 4,178 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 20,85·4,178 = 87,08 m

Atsakymas

x = 87,08 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 28,01 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·100) = 28,01 m/s

Atsakymas

v_max = 28,01 m/s (100,9 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 48,67 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(270·9,81·0,7179/0,8029) = 48,67 m/s

Atsakymas

v_max = 48,67 m/s

(175,2 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 77,8 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 24,53·0,9063 = 22,23 N

F = μN = 0,25·22,23 = 5,557 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 5,557·14 = 77,8 J

Atsakymas

W_f = 77,8 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,604 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 28,13 N

μ·mg·cos θ = 8,036 N

Darbas ir energija

½mv² = (45 − 36,17)·6 = 52,98 J

v = √(2·52,98/5) = 4,604 m/s

Atsakymas

v = 4,604 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 368,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,11) = 1,469 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 2,5)·1,469/0,01 = 368,7 m/s

Atsakymas

v = 368,7 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 805,2 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 0,9·(1 − cos 25°) = 0,08432 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,08432) = 1,286 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 5,008·1,286/0,008 = 805,2 m/s

Atsakymas

v = 805,2 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 1,893 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(210/1,6) = 11,46 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 11,46·√(0,17² − 0,04²) = 1,893 m/s

Atsakymas

v = 1,893 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: U = 0,184 J

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·230·0,19² = 4,152 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·230·0,04² = 0,184 J

Atsakymas

U = 0,184 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 353,3 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 400·(343 − 10)/(343 + 34)

f′ = 353,3 Hz

Atsakymas

f′ = 353,3 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f_b = 1802 Hz

Dažnis prie automobilio

f′ = 30000·(343 + 10)/343 = 30875 Hz

Aido dažnis

f″ = f′·343/(343 − 10) = 31802 Hz

Mūšos dažnis

f_b = |f″ − f| = 1802 Hz

Atsakymas

f_b = 1802 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics