Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 23 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 2 m/s² pagreičiu. Kokiu atstumu nuo savo pradinio taško policijos automobilis pasiveja? Raskite d.

v_car = 23 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 6 m/s greičiu nuo stogo, esančio 35 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 6 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

Dėžė slysta lygiomis grindimis 11,5 m/s pradiniu greičiu ir sustoja nuslydusi 17 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kinetinės trinties koeficientą μ.

v₀ = 11,5 m/sd = 17 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Niutono dėsniaiSunkus

6 kg kaladėlė ant 40° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 6 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 6 kgm₂ = 6 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 45° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 16 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 25 m/s greičiu 65° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 6 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 25 m/sθ = 65°h_roof = 6 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 55 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,7. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 55 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

190 m spindulio posūkis turi 20° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią greitį v_min, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas žemyn šlaitu.

r = 190 mθ = 20°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Automobilis, važiuojantis lygiu keliu 70 km/h greičiu, staigiai stabdo ir užblokuotais ratais slysta iki sustojimo. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,7. Raskite stabdymo kelią d.

v = 70 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Darbas ir energijaSunkus

10 kg kaladėlė iš rimties būsenos 30° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 85 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 3 m aukštyn šlaitu.

m = 10 kgF = 85 Nθ = 30°μ = 0,25d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

10 g kulka horizontaliai įšaunama į 2 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 16 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 10 gM = 2 kgh = 16 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,55 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 22 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 12 m/s greičiu. Sąlytis trunka 5 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,55 kgv_in = 22 m/sv_out = 12 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

3,7 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 380 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 4 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 3 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 3,7 kgk = 380 N/mA = 4 cmx = 3 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 380 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 7 cm amplitude. Raskite jo kinetinę energiją K, kai jis yra 5 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 380 N/mA = 7 cmx = 5 cm

K = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Viename gale uždarytas vamzdis turi turėti, kad jo 5-osios harmonikos dažnis būtų 286 Hz. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite vamzdžio ilgį L.

v = 343 m/sn = 5f₅ = 286 Hz

L = m

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

532 nm bangos ilgio šviesa krinta į du plyšius, nutolusius 0,5 mm. Ekranas yra 1 m atstumu. Raskite atstumą y₁ nuo centrinio šviesaus ruožo iki šviesaus ruožo, kurio numeris 1.

λ = 532 nmd = 0,5 mmL = 1 mm = 1

y₁ = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 529 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·23/2 = 23 s

Kelias

d = v·t = 23·23 = 529 m

Atsakymas

d = 529 m

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 46 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: t = 3,352 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−35 = 6·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 6·t − 35 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (6 + √(6² + 2·9,81·35))/9,81 = 3,352 s

Atsakymas

t = 3,352 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: μ = 0,3965

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

a = v₀²/(2d) = 11,5²/(2·17) = 3,89 m/s²

Trinties koeficientas

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3,89/9,81 = 0,3965

Atsakymas

μ = 0,3965

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 52,86 N

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 58,86 N

m₁·g·sin θ = 37,83 N

μ·m₁·g·cos θ = 9,018 N

Sistemos pagreitis

a = (58,86 − 37,83 − 9,018)/12 = 1,001 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš kabančio krovinio

m₂·g − T = m₂·a → T = 6·(9,81 − 1,001) = 52,86 N

Atsakymas

T = 52,86 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 26,1 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 45° = 11,31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 45° = 11,31 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·11,31/9,81 = 2,307 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 11,31·2,307 = 26,1 m

Atsakymas

x = 26,1 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 45,83 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 10,57 m/s, v_y = 22,66 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

6 = 22,66·t − 4,905·t²

t = (22,66 + √(22,66² − 2·9,81·6))/9,81 = 4,337 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 10,57·4,337 = 45,83 m

Atsakymas

x = 45,83 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 19,43 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·55) = 19,43 m/s

Atsakymas

v_max = 19,43 m/s (69,96 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 16,88 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta aukštyn šlaitu.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(190·9,81·0,1541/1,008) = 16,88 m/s

Atsakymas

v_min = 16,88 m/s

(60,76 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 27,53 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Greitis pagrindiniais vienetais

v = 70/3,6 = 19,44 m/s

Energijos balansas

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19,44²/(2·0,7·9,81) = 27,53 m

Atsakymas

d = 27,53 m

Padvigubinus greitį, stabdymo kelias pailgėja keturis kartus.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 2,971 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 49,05 N

μ·mg·cos θ = 21,24 N

Darbas ir energija

½mv² = (85 − 70,29)·3 = 44,13 J

v = √(2·44,13/10) = 2,971 m/s

Atsakymas

v = 2,971 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 356,1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,16) = 1,772 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 2)·1,772/0,01 = 356,1 m/s

Atsakymas

v = 356,1 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 18,7 N·s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,55·(12 + 22) = 18,7 N·s

Atsakymas

J = 18,7 N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,2681 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(380/3,7) = 10,13 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 10,13·√(0,04² − 0,03²) = 0,2681 m/s

Atsakymas

v = 0,2681 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: K = 0,456 J

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·380·0,07² = 0,931 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·380·0,05² = 0,475 J

Kinetinė energija

K = 0,931 − 0,475 = 0,456 J

Atsakymas

K = 0,456 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: L = 1,499 m

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Bangos ilgis

λ = v/f = 343/286 = 1,199 m

Ilgis

L = nλ/4 = 5·1,199/4 = 1,499 m

Atsakymas

L = 1,499 m

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: y₁ = 1,064 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Ruožų tarpas

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·1/(0,5 × 10⁻³) = 1,064 mm

Ruožo numeris 1

y₁ = 1·1,064 = 1,064 mm

Atsakymas

y₁ = 1,064 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics