Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 29 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 6 m/s² pagreičiu. Per kiek laiko policijos automobilis pasiveja? Raskite t.

v_car = 29 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 15 m/s greičiu nuo stogo, esančio 20 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 15 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

16 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 20° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 16 kgθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

8,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 8,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 20° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 12 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 40 m/s greičiu 45° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 9 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 40 m/sθ = 45°h_roof = 9 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 20 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 20 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,2 kg rutuliukas ant 1 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 6,5 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1,2 kgr = 1 mv = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Automobilis, važiuojantis lygiu keliu 120 km/h greičiu, staigiai stabdo ir užblokuotais ratais slysta iki sustojimo. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,5. Raskite stabdymo kelią d.

v = 120 km/hμ = 0,5g = 9,81 m/s²

d = m

10.Darbas ir energijaSunkus

1 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 4,5 m ilgio juostą (μ = 0,2) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 1 kgh = 5 mL = 4,5 mμ = 0,2k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

12 kg sviedinys, horizontaliai judantis 28 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 5 kg skeveldra toliau juda pirmyn 53 m/s greičiu. Raskite 7 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 12 kgu = 28 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 53 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,55 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 16 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 18 m/s greičiu. Sąlytis trunka 5 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,55 kgv_in = 16 m/sv_out = 18 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 1,2 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 1,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,2 kg krovinys pritvirtinamas prie neištemptos vertikalios spyruoklės, kurios k = 410 N/m, apatinio galo ir paleidžiamas be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią krovinio greitį v_max.

m = 2,2 kgk = 410 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose atviras vamzdis turi turėti, kad jo 5-osios harmonikos dažnis būtų 858 Hz. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite vamzdžio ilgį L.

v = 343 m/sn = 5f₅ = 858 Hz

L = m

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

550 nm bangos ilgio šviesa krinta į du plyšius, nutolusius 0,4 mm. Ekranas yra 3 m atstumu. Raskite tarpą Δy tarp gretimų šviesių ruožų.

λ = 550 nmd = 0,4 mmL = 3 m

Δy = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 9,667 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·29/6 = 9,667 s

Atsakymas

t = 9,667 s

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 58 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: t = 4,062 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−20 = 15·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 15·t − 20 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (15 + √(15² + 2·9,81·20))/9,81 = 4,062 s

Atsakymas

t = 4,062 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,512 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 20° − 0,2·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,1879) = 1,512 m/s²

Atsakymas

a = 1,512 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 34,64 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 16,68)/13 = 2,113 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8,5·2,113 + 16,68 = 34,64 N

Atsakymas

T = 34,64 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 9,435 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 20° = 11,28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 20° = 4,104 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·4,104/9,81 = 0,8367 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 11,28·0,8367 = 9,435 m

Atsakymas

x = 9,435 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 153,5 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 28,28 m/s, v_y = 28,28 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

9 = 28,28·t − 4,905·t²

t = (28,28 + √(28,28² − 2·9,81·9))/9,81 = 5,428 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 28,28·5,428 = 153,5 m

Atsakymas

x = 153,5 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 8,859 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·20) = 8,859 m/s

Atsakymas

v_max = 8,859 m/s (31,89 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 62,47 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,2·9,81 + 1,2·6,5²/1 = 11,77 + 50,7 = 62,47 N

Atsakymas

T = 62,47 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 113,3 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Greitis pagrindiniais vienetais

v = 120/3,6 = 33,33 m/s

Energijos balansas

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33,33²/(2·0,5·9,81) = 113,3 m

Atsakymas

d = 113,3 m

Padvigubinus greitį, stabdymo kelias pailgėja keturis kartus.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 40,11 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 9,81·(5 − 0,2·4,5) = 40,22 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 40,22 → x = √(2·40,22/500) = 0,4011 m = 40,11 cm

Atsakymas

x = 40,11 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 10,14 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 12·28 = 336 kg·m/s

Judesio kiekis po

336 = 5·53 + 7·v′₂

v′₂ = (336 − 265)/7 = 10,14 m/s

Atsakymas

v′₂ = 10,14 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 3740 N

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,55·(18 + 16) = 18,7 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 18,7/0,005 = 3740 N

Atsakymas

F_avg = 3740 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 2,198 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(1,2/9,81) = 2,198 s

Atsakymas

T = 2,198 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,7186 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Pusiausvyra ir amplitudė

x₀ = m·g/k = 2,2·9,81/410 = 0,05264 m = A

Didžiausias greitis

Greitis didžiausias pusiausvyros padėtyje.

ω = √(410/2,2) = 13,65 rad/s

v_max = A·ω = 0,05264·13,65 = 0,7186 m/s

Atsakymas

v_max = 0,7186 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: L = 0,9994 m

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Bangos ilgis

λ = v/f = 343/858 = 0,3998 m

Ilgis

L = nλ/2 = 5·0,3998/2 = 0,9994 m

Atsakymas

L = 0,9994 m

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: Δy = 4,125 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Ruožų tarpas

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·3/(0,4 × 10⁻³) = 4,125 mm

Atsakymas

Δy = 4,125 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics