Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvas pajuda iš vietos ir pakilimo taku tolygiai greitėja 4 m/s² pagreičiu. Raskite jo greitį v nuriedėjus 1300 m.

v₀ = 0a = 4 m/s²s = 1300 m

v = m/s

2.KinematikaSunkus

Raketos modelis paleidžiamas vertikaliai aukštyn iš rimties būsenos. Variklis 1 s suteikia jai pastovų 32 m/s² pagreitį aukštyn, po to variklis išsijungia ir raketa juda laisvai. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią raketos pasiekiamą aukštį h_max.

a = 32 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

5 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 20° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 5 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

6 kg kaladėlė ant 35° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 9,5 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Rampa be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 6 kgm₂ = 9,5 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 25° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 14 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 30° kampu į horizontą nuo 55 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 20 m/sθ = 30°h = 55 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 3,3 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią kampinį greitį ω rad/s.

r = 3,3 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,2 kg rutuliukas ant 0,9 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 7,5 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 0,2 kgr = 0,9 mv = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

5 kg kūnas nuslysta 18 m nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,35. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 5 kgθ = 35°μ = 0,35d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kaladėlė iš rimties būsenos 25° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 15 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 4 m aukštyn šlaitu.

m = 2 kgF = 15 Nθ = 25°μ = 0,1d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

4,5 kg vežimėlis, judantis 8 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 1,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 22 m/s greičiu važiuojantis 1700 kg automobilis susiduria su į šiaurę 8 m/s greičiu važiuojančiu 900 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų judėjimo kryptį θ iškart po susidūrimo, matuojant nuo rytų krypties į šiaurę.

m₁ = 1700 kgv₁ = 22 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 8 m/s (N)

θ = °

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 0,4 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 0,4 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3,2 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 60 N/m, atitraukiamas 14 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 3,2 kgk = 60 N/mA = 14 cm

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Daiktas yra 4 cm atstumu prieš ploną lęšį (glaudžiamasis), kurio židinio nuotolis 10 cm. Raskite vaizdo atstumą d_i. Naudokite ženklų susitarimą 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 sklaidomajam lęšiui, d_i < 0 menamam vaizdui).

d_o = 4 cmf = 10 cm

d_i = cm

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Gardelė su 600 linijų milimetrui rodo spektro linijos 2 eilės maksimumą 29,1° kampu nuo tiesios krypties. Raskite linijos bangos ilgį λ.

N = 600 mm⁻¹θ₂ = 29,1°m = 2

λ = nm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: v = 102 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Greitis nuvažiavus atstumą

v = √(2·a·s) = √(2·4·1300) = 102 m/s

Atsakymas

v = 102 m/s

(367,1 km/h)

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 68,19 m

Varomoji fazė

v₁ = 32·1 = 32 m/s

h₁ = ½·32·1² = 16 m

Laisvasis skrydis aukštyn

Viršuje greitis lygus nuliui.

Δh = v₁²/(2g) = 32²/(2·9,81) = 52,19 m

h_max = 16 + 52,19 = 68,19 m

Atsakymas

h_max = 68,19 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 21,39 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 16,78 + 4,609 = 21,39 N

Atsakymas

F = 21,39 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 56,77 N

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 93,2 N

m₁·g·sin θ = 33,76 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Sistemos pagreitis

a = (93,2 − 33,76 − 0)/15,5 = 3,834 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš kabančio krovinio

m₂·g − T = m₂·a → T = 9,5·(9,81 − 3,834) = 56,77 N

Atsakymas

T = 56,77 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 1,784 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 25° = 12,69 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 25° = 5,917 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 5,917²/(2·9,81) = 1,784 m

Atsakymas

H = 1,784 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 4,52 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 30° = 17,32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 30° = 10 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 55 + 10·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10 + √(100 + 1079))/9,81 = 4,52 s

Atsakymas

t = 4,52 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: ω = 2,226 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·3,3)) = 2,226 rad/s

Atsakymas

ω = 2,226 rad/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 14,46 N

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,2·9,81 + 0,2·7,5²/0,9 = 1,962 + 12,5 = 14,46 N

Atsakymas

T = 14,46 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 253,1 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 49,05·0,8192 = 40,18 N

F = μN = 0,35·40,18 = 14,06 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 14,06·18 = 253,1 J

Atsakymas

W_f = 253,1 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,441 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 8,292 N

μ·mg·cos θ = 1,778 N

Darbas ir energija

½mv² = (15 − 10,07)·4 = 19,72 J

v = √(2·19,72/2) = 4,441 m/s

Atsakymas

v = 4,441 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 12 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (4,5 − 1,5)/(4,5 + 1,5)·8 = 4 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 1,5)·8 = 12 m/s

Atsakymas

v′₂ = 12 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: θ = 10,9 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 1700·22 = 37400 kg·m/s

p_y = 900·8 = 7200 kg·m/s

Kryptis

tan θ = p_y/p_x = 0,1925 → θ = 10,9°

Atsakymas

θ = 10,9°

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 1,269 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(0,4/9,81) = 1,269 s

Atsakymas

T = 1,269 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,6062 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(60/3,2) = 4,33 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,14·4,33 = 0,6062 m/s

Atsakymas

v_max = 0,6062 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i = −6,667 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Plonojo lęšio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/4

d_i = −6,667 cm

Spindulių diagrama

menamasis, toje pačioje pusėje kaip daiktas

Atsakymas

d_i = −6,667 cm

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: λ = 405,3 nm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Bangos ilgis

λ = d·sin θ/m = 1,667 × 10⁻⁶·sin 29,1°/2 = 405,3 nm

Atsakymas

λ = 405,3 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics