Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

80 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 0,5 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 7 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 80 km/ht_r = 0,5 sa = −7 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Raketos modelis paleidžiamas vertikaliai aukštyn iš rimties būsenos. Variklis 3 s suteikia jai pastovų 26 m/s² pagreitį aukštyn, po to variklis išsijungia ir raketa juda laisvai. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią raketos pasiekiamą aukštį h_max.

a = 26 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

7 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 7 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

2 kg kaladėlė ant 20° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 8 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 2 kgm₂ = 8 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 30 m/s greičiu 65° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 28 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 30 m/sθ = 65°x = 28 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 45° kampu į horizontą nuo 35 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 22 m/sθ = 45°h = 35 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

70 m spindulio posūkis turi 10° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 70 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Mažas vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas bėgiu be trinties ir įvažiuoja į vertikalią 1,5 m spindulio kilpą. Iš kokio mažiausio aukščio h_min virš kilpos apačios jis turi pradėti, kad kilpos viršuje neatitrūktų nuo bėgio?

R = 1,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.Darbas ir energijaVidutinis

1200 kg automobilis važiuoja į 8° šlaitą pastoviu 54 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 250 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 1200 kgθ = 8°F_r = 250 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

1 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 2,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 4,5 m ilgio juostą (μ = 0,2) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 800 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 1 kgh = 2,5 mL = 4,5 mμ = 0,2k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

4,5 kg vežimėlis, judantis 2 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 1,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 4,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,25 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 16 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 5 m/s greičiu. Sąlytis trunka 50 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,25 kgv_in = 16 m/sv_out = 5 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 3 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 3 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3,9 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 120 N/m, atitraukiamas 6 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 3,9 kgk = 120 N/mA = 6 cm

a_max = m/s²

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Viename gale uždarytas vamzdis yra 0,5 m ilgio. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite jo 3-osios harmonikos dažnį f₃.

v = 343 m/sn = 3L = 0,5 m

f₃ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Du plyšiai, nutolę 0,15 mm, apšviečiami monochromatine šviesa. Ekrane, esančiame 1,5 m atstumu, šviesus ruožas, kurio numeris 3, yra 14,4 mm nuo centrinio ruožo. Raskite bangos ilgį λ.

d = 0,15 mmL = 1,5 my₃ = 14,4 mmm = 3

λ = nm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 46,38 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 22,22·0,5 = 11,11 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·7) = 35,27 m

Iš viso

d = 11,11 + 35,27 = 46,38 m

Atsakymas

d = 46,38 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 427,1 m

Varomoji fazė

v₁ = 26·3 = 78 m/s

h₁ = ½·26·3² = 117 m

Laisvasis skrydis aukštyn

Viršuje greitis lygus nuliui.

Δh = v₁²/(2g) = 78²/(2·9,81) = 310,1 m

h_max = 117 + 310,1 = 427,1 m

Atsakymas

h_max = 427,1 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,781 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 30° − 0,25·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2165) = 2,781 m/s²

Atsakymas

a = 2,781 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 23,28 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 78,48 N

m₁·g·sin θ = 6,71 N

μ·m₁·g·cos θ = 2,766 N

Sistemos pagreitis

a = (78,48 − 6,71 − 2,766)/10 = 6,9 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš kabančio krovinio

m₂·g − T = m₂·a → T = 8·(9,81 − 6,9) = 23,28 N

Atsakymas

T = 23,28 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 36,12 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 30·cos 65° = 12,68 m/s

t = x/v_x = 28/12,68 = 2,208 s

Aukštis tuo momentu

y = 27,19·2,208 − ½·9,81·2,208² = 36,12 m

Atsakymas

y = 36,12 m

Prie sienos kamuolys dar kyla.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 72,99 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 45° = 15,56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 45° = 15,56 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 35 + 15,56·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15,56 + √(242 + 686,7))/9,81 = 4,692 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 15,56·4,692 = 72,99 m

Atsakymas

x = 72,99 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 11 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(70·9,81·tan 10°) = 11 m/s

Atsakymas

v = 11 m/s

(39,61 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: h_min = 3,75 m

Sąlyga viršuje

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Energijos tvermė

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·1,5 = 3,75 m

Atsakymas

h_min = 3,75 m

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 28,33 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 1200·9,81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 8° = 1638 N

F = 1638 + 250 = 1888 N

Galia

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 1888·15 = 28325 W = 28,33 kW

Atsakymas

P = 28,33 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 5,603 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 9,81·(2,5 − 0,2·4,5) = 15,7 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,6) = 5,603 m/s

Atsakymas

v = 5,603 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 1 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (4,5 − 1,5)/(4,5 + 1,5)·2 = 1 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 1,5)·2 = 3 m/s

Atsakymas

v′₁ = 1 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 105 N

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,25·(5 + 16) = 5,25 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 5,25/0,05 = 105 N

Atsakymas

F_avg = 105 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 2,236 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(3/2π)² = 2,236 m

Atsakymas

L = 2,236 m

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 1,846 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(120/3,9) = 5,547 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,06·5,547² = 1,846 m/s²

Atsakymas

a_max = 1,846 m/s²

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f₃ = 514,5 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Šios modos bangos ilgis

λ = 4L/n = 4·0,5/3 = 0,6667 m

Dažnis

f = v/λ = 343/0,6667 = 514,5 Hz

Atsakymas

f₃ = 514,5 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: λ = 480 nm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Bangos ilgis

λ = y·d/(mL) = 0,0144·0,00015/(3·1,5) = 4,8 × 10⁻⁷ m = 480 nm

Atsakymas

λ = 480 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics