Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvas pajuda iš vietos ir pakilimo taku tolygiai greitėja 1,75 m/s² pagreičiu. Raskite jo greitį v nuriedėjus 1000 m.

v₀ = 0a = 1,75 m/s²s = 1000 m

v = m/s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 18 m/s greičiu nuo stogo, esančio 40 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 18 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

7,5 kg ir 5 kg kroviniai kabo abipus lengvo skridinio be trinties, sujungti lengvu siūlu. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite krovinių pagreitį a.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

9,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 45° kampu virš horizontalės ir nukrinta 45 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 45°R = 45 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 30° kampu į horizontą nuo 30 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 13 m/sθ = 30°h = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja per kelio kauburio viršūnę, kuri yra 75 m spindulio apskritimo lankas. Imkite g = 9,81 m/s². Viršijus kokį greitį v_max ratai viršūnėje atitrūksta nuo kelio?

r = 75 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 0,7 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 0,7 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,5 kg kūnas nuslysta 20 m nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,4. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 0,5 kgθ = 35°μ = 0,4d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

30° šlaito apačioje esanti 2000 N/m standumo spyruoklė suspaudžiama 8 cm prie 2 kg kaladėlės ir atleidžiama. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir šlaito koeficientas 0,3. Kokį atstumą d aukštyn šlaitu nuo paleidimo taško kaladėlė nuslenka, kol sustoja? (Nepaisykite trumpo atstumo, kuriame stumia spyruoklė, t. y. trintį ir sunkio jėgą imkite visame atstume d.)

m = 2 kgk = 2000 N/mx = 8 cmθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1900 kg automobilis, judantis 21 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 1700 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek kinetinės energijos ΔK prarandama susidūrimo metu?

m₁ = 1900 kgv₁ = 21 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

8 g kulka horizontaliai įšaunama į 2 kg tašelį, kabantį ant lengvų 0,6 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 10° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 8 gM = 2 kgL = 0,6 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 1 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

10 g kulka, lekianti 300 m/s greičiu, pataiko į 0,5 kg tašelį, gulintį ant paviršiaus be trinties, ir jame įstringa. Tašelis pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės, kurios k = 700 N/m. Raskite atsiradusių svyravimų amplitudę A cm.

m = 10 gv = 300 m/sM = 0,5 kgk = 700 N/m

A = cm

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

1,5 cm aukščio daiktas yra 20 cm atstumu prieš ploną lęšį (glaudžiamasis), kurio židinio nuotolis 15 cm. Raskite vaizdo aukštį h_i (neigiamas apverstam vaizdui).

h_o = 1,5 cmd_o = 20 cmf = 15 cm

h_i = cm

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Daiktas yra 15 cm atstumu prieš veidrodį (įgaubtas), kurio kreivumo spindulys 60 cm. Raskite vaizdo atstumą d_i, teigiamą vaizdui prieš veidrodį (tikrasis) ir neigiamą vaizdui už jo (menamasis).

d_o = 15 cmR = 60 cm

d_i = cm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: v = 59,16 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Greitis nuvažiavus atstumą

v = √(2·a·s) = √(2·1,75·1000) = 59,16 m/s

Atsakymas

v = 59,16 m/s

(213 km/h)

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 56,51 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9,81) = 16,51 m

Aukštis virš žemės

h_max = 40 + 16,51 = 56,51 m

Atsakymas

h_max = 56,51 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,962 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Pagreitis

Varomoji atstojamoji jėga yra svorių skirtumas; ji judina visą masę.

a = (7,5 − 5)·9,81/(7,5 + 5) = 1,962 m/s²

Atsakymas

a = 1,962 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,455 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 27,96)/14,5 = 1,455 m/s²

Atsakymas

a = 1,455 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 21,01 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·45/sin 90°) = 21,01 m/s

Atsakymas

v₀ = 21,01 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 3,223 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 30° = 11,26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 30° = 6,5 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 30 + 6,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,5 + √(42,25 + 588,6))/9,81 = 3,223 s

Atsakymas

t = 3,223 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 27,12 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Normalinė jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·75) = 27,12 m/s

Atsakymas

v_max = 27,12 m/s

(97,65 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 2,62 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,7) = 2,62 m/s

Atsakymas

v_min = 2,62 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 32,14 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 4,905·0,8192 = 4,018 N

F = μN = 0,4·4,018 = 1,607 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 1,607·20 = 32,14 J

Atsakymas

W_f = 32,14 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 0,4293 m

Spyruoklės energija

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·2000·0,08² = 6,4 J

Energijos balansas nuokalne

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 6,4/(19,62·(0,5 + 0,3·0,866)) = 0,4293 m

Atsakymas

d = 0,4293 m

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK = 197838 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·21/3600 = 11,08 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·1900·21² = 418950 J

K_after = ½·3600·11,08² = 221113 J

Prarasta energija

ΔK = 418950 − 221113 = 197838 J

Atsakymas

ΔK = 197838 J

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 106,1 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 0,6·(1 − cos 10°) = 0,009115 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,009115) = 0,4229 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 2,008·0,4229/0,008 = 106,1 m/s

Atsakymas

v = 106,1 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,2485 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1/2π)² = 0,2485 m

Atsakymas

L = 0,2485 m

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: A = 15,88 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Greitis po smūgio

V = m·v/(m + M) = 0,01·300/0,51 = 5,882 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(k/(m + M)) = √(700/0,51) = 37,05 rad/s

Amplitudė

A = V/ω = 5,882/37,05 = 0,1588 m = 15,88 cm

Atsakymas

A = 15,88 cm

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: h_i = −4,5 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Plonojo lęšio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/20

d_i = 60 cm

Didinimas ir aukštis

m = −60/20 = −3

h_i = −3·1,5 = −4,5 cm

Atsakymas

h_i = −4,5 cm

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i = −30 cm

Židinio nuotolis

f = R/2 = 30 cm

Veidrodžio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/15

d_i = −30 cm

Spindulių diagrama

menamas vaizdas už veidrodžio

Atsakymas

d_i = −30 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics