Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

54 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 54 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Akmuo be pradinio greičio numetamas į šulinį. Pliūpsnis išgirstamas praėjus 3,1 s nuo akmens paleidimo. Garso greitis 343 m/s; nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite šulinio gylį d.

t_total = 3,1 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

Dėžė slysta lygiomis grindimis 11 m/s pradiniu greičiu ir sustoja nuslydusi 25 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kinetinės trinties koeficientą μ.

v₀ = 11 m/sd = 25 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Niutono dėsniaiSunkus

4 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 3 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 22 m/s greičiu ir turi nukristi 45 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažesnįjį iš dviejų galimų išmetimo kampų θ.

v₀ = 22 m/sR = 45 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 25° kampu į horizontą nuo 55 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 18 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Kelių inžinierius nori, kad automobiliai 220 m spindulio posūkį įveiktų 70 km/h greičiu nesiremdami trintimi. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite posvyrio kampą θ.

r = 220 mv = 70 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,5 kg rutuliukas ant 1,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 7 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1,5 kgr = 1,5 mv = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,5 kg rutuliukas kabo ant lengvo 2 m ilgio siūlo. Jis atitraukiamas, kol siūlas su vertikale sudaro 20° kampą, ir paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite siūlo įtempimo jėgą T, kai rutuliukas eina pro žemiausią tašką.

m = 0,5 kgL = 2 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Darbas ir energijaSunkus

10 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 12 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 3 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 10 kgh = 12 mR = 3 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1400 kg automobilis, judantis 14 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 600 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek kinetinės energijos ΔK prarandama susidūrimo metu?

m₁ = 1400 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,3 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 25 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 7 m/s greičiu. Sąlytis trunka 25 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,3 kgv_in = 25 m/sv_out = 7 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

1,3 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 320 N/m, atitraukiamas 13 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo greitį v momentu t = 0,65 s (su ženklu).

m = 1,3 kgk = 320 N/mA = 13 cmt = 0,65 s

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 470 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 17 cm amplitude. Raskite jo kinetinę energiją K, kai jis yra 2 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 470 N/mA = 17 cmx = 2 cm

K = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Viename gale uždarytas vamzdis turi turėti, kad jo 7-osios harmonikos dažnis būtų 923 Hz. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite vamzdžio ilgį L.

v = 343 m/sn = 7f₇ = 923 Hz

L = m

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

486 nm bangos ilgio šviesa statmenai krinta į gardelę, turinčią 1200 linijų milimetrui. Raskite 1 eilės maksimumo kampą θ₁.

N = 1200 mm⁻¹λ = 486 nmm = 1

θ₁ = °

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 22,5 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·5) = 22,5 m

Atsakymas

s = 22,5 m

2.Kinematika

Atsakymas: d = 43,37 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Dvi laiko dalys

½·9,81·t₁² = 343·(3,1 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1063 = 0

Kritimo trukmė

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1063))/(2·4,905) = 2,974 s

Gylis

d = ½·9,81·2,974² = 43,37 m

Atsakymas

d = 43,37 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: μ = 0,2467

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

a = v₀²/(2d) = 11²/(2·25) = 2,42 m/s²

Trinties koeficientas

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,42/9,81 = 0,2467

Atsakymas

μ = 0,2467

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,644 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 3,924)/7 = 3,644 m/s²

Atsakymas

a = 3,644 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: θ = 32,9 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Nuotolio formulė

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·45/22² = 0,9121

Kampas

2θ = 65,8° → θ = 32,9°

Atsakymas

θ = 32,9°

Kitas sprendinys yra 90° − θ = 57,1°.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 4,213 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 25° = 16,31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 25° = 7,607 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 55 + 7,607·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7,607 + √(57,87 + 1079))/9,81 = 4,213 s

Atsakymas

t = 4,213 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: θ = 9,937 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Vienetai

v = 70/3,6 = 19,44 m/s

Posvyrio kampas

tan θ = v²/(r·g) = 19,44²/(220·9,81) = 0,1752

θ = 9,937°

Atsakymas

θ = 9,937°

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 63,72 N

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,5·9,81 + 1,5·7²/1,5 = 14,71 + 49 = 63,72 N

Atsakymas

T = 63,72 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: T = 5,497 N

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Judant apskritimu, į centrą nukreipta atstojamoji jėga turi būti lygi mv²/r.

Greitis apačioje

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 20°) = 2,366 m²/s²

Jėgos apačioje

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·2,366/2 = 5,497 N

Atsakymas

T = 5,497 N

Patikra: T = mg(3 − 2cos θ) = 5,497 N.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: N = 294,3 N

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(12 − 6) = 117,7 m²/s²

Jėgos viršuje

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

N = mv²/R − mg = 10·117,7/3 − 98,1 = 294,3 N

Atsakymas

N = 294,3 N

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK = 41160 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·14/2000 = 9,8 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·1400·14² = 137200 J

K_after = ½·2000·9,8² = 96040 J

Prarasta energija

ΔK = 137200 − 96040 = 41160 J

Atsakymas

ΔK = 41160 J

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 384 N

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,3·(7 + 25) = 9,6 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 9,6/0,025 = 384 N

Atsakymas

F_avg = 384 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 1,425 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(320/1,3) = 15,69 rad/s

ω·t = 15,69·0,65 = 10,2 rad

Greitis

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,13·15,69·sin(10,2) = 1,425 m/s

Atsakymas

v = 1,425 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: K = 6,698 J

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·470·0,17² = 6,792 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·470·0,02² = 0,094 J

Kinetinė energija

K = 6,792 − 0,094 = 6,698 J

Atsakymas

K = 6,698 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: L = 0,6503 m

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Bangos ilgis

λ = v/f = 343/923 = 0,3716 m

Ilgis

L = nλ/4 = 7·0,3716/4 = 0,6503 m

Atsakymas

L = 0,6503 m

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: θ₁ = 35,68 °

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/1200 mm = 8,333 × 10⁻⁷ m

Gardelės lygtis

sin θ = mλ/d = 1·486 × 10⁻⁹/(8,333 × 10⁻⁷) = 0,5832

θ = 35,68°

Atsakymas

θ₁ = 35,68°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics