Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

36 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 6 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 36 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 15 m/s greičiu nuo stogo, esančio 5 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 15 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

25 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 35° kampą virš horizontalės, 190 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 25 kgF = 190 Nθ = 35°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

8 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 8 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 26 m/s greičiu 20° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 31 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 26 m/sθ = 20°x = 31 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 26 m/s greičiu 35° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 20 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiu kampu α žemiau horizontalės jis atsitrenkia į žemę?

v₀ = 26 m/sθ = 35°h = 20 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

1800 kg automobilis 13 m/s greičiu važiuoja per kelio kauburio viršūnę. Kauburio viršūnė yra 75 m spindulio apskritimo lankas. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą N, kuria kelias viršūnėje veikia automobilį.

m = 1800 kgv = 13 m/sr = 75 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Judėjimas apskritimuSunkus

5 kg vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas 24,6 m aukštyje ant bėgio be trinties ir pervažiuoja vertikalią 6 m spindulio kilpą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą N_bottom, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos apačioje.

m = 5 kgh = 24,6 mR = 6 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

4 kg kūnas nuslysta 4 m nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,25. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 4 kgθ = 40°μ = 0,25d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kaladėlė iš rimties būsenos 15° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 15 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 10 m aukštyn šlaitu.

m = 2 kgF = 15 Nθ = 15°μ = 0,1d = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

5 kg vežimėlis, judantis 11 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 1 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 23 m/s greičiu važiuojantis 2000 kg automobilis susiduria su į šiaurę 24 m/s greičiu važiuojančiu 900 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų judėjimo kryptį θ iškart po susidūrimo, matuojant nuo rytų krypties į šiaurę.

m₁ = 2000 kgv₁ = 23 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 24 m/s (N)

θ = °

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1,6 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 1,6 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,5 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 220 N/m, atitraukiamas 12 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 1,5 kgk = 220 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose atviras vamzdis yra 0,4 m ilgio. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite jo 2-osios harmonikos dažnį f₂.

v = 343 m/sn = 2L = 0,4 m

f₂ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Gardelė su 500 linijų milimetrui rodo spektro linijos 3 eilės maksimumą 62,1° kampu nuo tiesios krypties. Raskite linijos bangos ilgį λ.

N = 500 mm⁻¹θ₃ = 62,1°m = 3

λ = nm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 8,333 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·6) = 8,333 m

Atsakymas

s = 8,333 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 16,47 m

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 15²/(2·9,81) = 11,47 m

Aukštis virš žemės

h_max = 5 + 11,47 = 16,47 m

Atsakymas

h_max = 16,47 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,045 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 190·sin 35° = 136,3 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 155,6 − 54,51

a = 101,1/25 = 4,045 m/s²

Atsakymas

a = 4,045 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,904 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 7,848)/12,5 = 2,904 m/s²

Atsakymas

a = 2,904 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 3,386 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 26·cos 20° = 24,43 m/s

t = x/v_x = 31/24,43 = 1,269 s

Aukštis tuo momentu

y = 8,893·1,269 − ½·9,81·1,269² = 3,386 m

Atsakymas

y = 3,386 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: α = 49,34 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 26·cos 35° = 21,3 m/s

v_y0 = 26·sin 35° = 14,91 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(14,91² + 2·9,81·20) = 24,8 m/s

Atsitrenkimo kampas

tan α = v_y/v_x = 24,8/21,3 → α = 49,34°

Atsakymas

α = 49,34°

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: N = 13602 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgos viršuje

Teigiama kryptis į centrą (žemyn).

m·g − N = m·v²/r

N = 1800·9,81 − 1800·13²/75 = 17658 − 4056 = 13602 N

Atsakymas

N = 13602 N

Automobilis tampa lengvesnis: kelias stumia aukštyn mažesne jėga nei jo svoris.

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: N_bottom = 451,3 N

Greitis iš energijos tvermės

v² = 2·9,81·24,6 = 482,7 m²/s²

Jėgos

Teigiama kryptis į centrą.

N = m·v²/R + m·g = 5·482,7/6 + 49,05 = 451,3 N

Atsakymas

N_bottom = 451,3 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 30,06 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 39,24·0,766 = 30,06 N

F = μN = 0,25·30,06 = 7,515 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 7,515·4 = 30,06 J

Atsakymas

W_f = 30,06 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 8,959 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 5,078 N

μ·mg·cos θ = 1,895 N

Darbas ir energija

½mv² = (15 − 6,973)·10 = 80,27 J

v = √(2·80,27/2) = 8,959 m/s

Atsakymas

v = 8,959 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 18,33 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (5 − 1)/(5 + 1)·11 = 7,333 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1)·11 = 18,33 m/s

Atsakymas

v′₂ = 18,33 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: θ = 25,15 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 2000·23 = 46000 kg·m/s

p_y = 900·24 = 21600 kg·m/s

Kryptis

tan θ = p_y/p_x = 0,4696 → θ = 25,15°

Atsakymas

θ = 25,15°

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,6361 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,6/2π)² = 0,6361 m

Atsakymas

L = 0,6361 m

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 17,6 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(220/1,5) = 12,11 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,12·12,11² = 17,6 m/s²

Atsakymas

a_max = 17,6 m/s²

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f₂ = 857,5 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Šios modos bangos ilgis

λ = 2L/n = 2·0,4/2 = 0,4 m

Dažnis

f = v/λ = 343/0,4 = 857,5 Hz

Atsakymas

f₂ = 857,5 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: λ = 589,2 nm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Bangos ilgis

λ = d·sin θ/m = 2 × 10⁻⁶·sin 62,1°/3 = 589,2 nm

Atsakymas

λ = 589,2 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics