Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 16 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 3,5 m/s² pagreičiu. Kokiu atstumu nuo savo pradinio taško policijos automobilis pasiveja? Raskite d.

v_car = 16 m/sa_police = 3,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 7 s greitėja 3 m/s² pagreičiu, tada 29 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 4,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 7 st₂ = 29 sa₃ = −4,5 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

50 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 20° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 50 kgθ = 20°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 45 N jėga traukia priekinę 1 kg kaladėlę; 7 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jungiamojo siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 7 kgm₂ = 1 kgF = 45 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 32 m/s greičiu 20° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 54 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 32 m/sθ = 20°x = 54 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 40° kampu į horizontą nuo 20 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 14 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

380 m spindulio posūkis turi 20° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 380 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 0,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

2 kg kūnas nuslysta 18 m nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,15. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 2 kgθ = 40°μ = 0,15d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

0,5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 4,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 4 m ilgio juostą (μ = 0,25) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 1500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 0,5 kgh = 4,5 mL = 4 mμ = 0,25k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

700 kg automobilis, judantis 17 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 1600 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek kinetinės energijos ΔK prarandama susidūrimo metu?

m₁ = 700 kgv₁ = 17 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,2 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 21 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 19 m/s greičiu. Sąlytis trunka 5 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,2 kgv_in = 21 m/sv_out = 19 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 1 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 3,26 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.

L = 1 mT = 3,26 s

g = m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

5 g kulka, lekianti 500 m/s greičiu, pataiko į 0,5 kg tašelį, gulintį ant paviršiaus be trinties, ir jame įstringa. Tašelis pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės, kurios k = 1600 N/m. Raskite atsiradusių svyravimų amplitudę A cm.

m = 5 gv = 500 m/sM = 0,5 kgk = 1600 N/m

A = cm

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose pritvirtinta styga yra 0,75 m ilgio; bangos juo sklinda 80 m/s greičiu. Raskite jo 2-osios harmonikos dažnį f₂.

v = 80 m/sn = 2L = 0,75 m

f₂ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Daiktas yra 10 cm atstumu prieš veidrodį (įgaubtas), kurio kreivumo spindulys 50 cm. Raskite vaizdo atstumą d_i, teigiamą vaizdui prieš veidrodį (tikrasis) ir neigiamą vaizdui už jo (menamasis).

d_o = 10 cmR = 50 cm

d_i = cm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 146,3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·16/3,5 = 9,143 s

Kelias

d = v·t = 16·9,143 = 146,3 m

Atsakymas

d = 146,3 m

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 32 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: s = 731,5 m

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 3·7 = 21 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·3·7² = 73,5 m

s₂ = 21·29 = 609 m

s₃ = 21²/(2·4,5) = 49 m

Visas atstumas

s = 73,5 + 609 + 49 = 731,5 m

Atsakymas

s = 731,5 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 306 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 167,8 + 138,3 = 306 N

Atsakymas

F = 306 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 39,38 N

Visa sistema

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (45 − 15,7)/8 = 3,663 m/s²

Vien galinė kaladėlė

T = m₁·(a + μ·g) = 7·(3,663 + 1,962) = 39,38 N

Atsakymas

T = 39,38 N

Kai abiejų kaladėlių μ vienodas, trintis išnyksta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 3,836 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 32·cos 20° = 30,07 m/s

t = x/v_x = 54/30,07 = 1,796 s

Aukštis tuo momentu

y = 10,94·1,796 − ½·9,81·1,796² = 3,836 m

Atsakymas

y = 3,836 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 33,62 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 40° = 10,72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 40° = 8,999 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 20 + 8,999·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,999 + √(80,98 + 392,4))/9,81 = 3,135 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 10,72·3,135 = 33,62 m

Atsakymas

x = 33,62 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 36,83 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(380·9,81·tan 20°) = 36,83 m/s

Atsakymas

v = 36,83 m/s

(132,6 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 2,215 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,5) = 2,215 m/s

Atsakymas

v_min = 2,215 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 40,58 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 19,62·0,766 = 15,03 N

F = μN = 0,15·15,03 = 2,254 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 2,254·18 = 40,58 J

Atsakymas

W_f = 40,58 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 8,287 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 4,905·(4,5 − 0,25·4) = 17,17 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Atsakymas

v = 8,287 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK = 70365 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·17/2300 = 5,174 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·700·17² = 101150 J

K_after = ½·2300·5,174² = 30785 J

Prarasta energija

ΔK = 101150 − 30785 = 70365 J

Atsakymas

ΔK = 70365 J

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 8 N·s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,2·(19 + 21) = 8 N·s

Atsakymas

J = 8 N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: g = 3,715 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Išreiškite g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/3,26² = 3,715 m/s²

Atsakymas

g = 3,715 m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: A = 8,795 cm

Greitis po smūgio

V = m·v/(m + M) = 0,005·500/0,505 = 4,95 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(k/(m + M)) = √(1600/0,505) = 56,29 rad/s

Amplitudė

A = V/ω = 4,95/56,29 = 0,08795 m = 8,795 cm

Atsakymas

A = 8,795 cm

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f₂ = 106,7 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Šios modos bangos ilgis

λ = 2L/n = 2·0,75/2 = 0,75 m

Dažnis

f = v/λ = 80/0,75 = 106,7 Hz

Atsakymas

f₂ = 106,7 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i = −16,67 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Židinio nuotolis

f = R/2 = 25 cm

Veidrodžio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/10

d_i = −16,67 cm

Spindulių diagrama

menamas vaizdas už veidrodžio

Atsakymas

d_i = −16,67 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics