Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

90 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 1,5 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 7,5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 90 km/ht_r = 1,5 sa = −7,5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys A be pradinio greičio numetamas iš 10 m aukščio. Tuo pačiu metu kamuolys B tiesiai po juo nuo žemės išmetamas vertikaliai aukštyn 20 m/s greičiu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kada kamuoliai susitinka? Raskite t.

H = 10 mv_0B = 20 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

3 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 3 kgθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

2,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 0,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 0,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 20° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 32 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 22 m/s greičiu 30° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 15 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 22 m/sθ = 30°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 1,6 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 50° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rutuliuko greitį v.

L = 1,6 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 0,7 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 0,7 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 800 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,15 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 5 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,15 kgk = 800 N/mx = 5 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

10 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 4 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 4,5 m ilgio juostą (μ = 0,15) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 800 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 10 kgh = 4 mL = 4,5 mμ = 0,15k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1800 kg automobilis, judantis 18 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 700 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek kinetinės energijos ΔK prarandama susidūrimo metu?

m₁ = 1800 kgv₁ = 18 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

12 g kulka horizontaliai įšaunama į 4,5 kg tašelį, kabantį ant lengvų 1,4 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 40° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 12 gM = 4,5 kgL = 1,4 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

3 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 370 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 12 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 9 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 3 kgk = 370 N/mA = 12 cmx = 9 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 130 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 18 cm amplitude. Raskite jo kinetinę energiją K, kai jis yra 3 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 130 N/mA = 18 cmx = 3 cm

K = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

500 Hz dažnio šaltinis juda 15 m/s greičiu nuo nejudančio stebėtojo. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 500 Hzv = 343 m/sv_s = 15 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Daiktas yra 40 cm atstumu prieš veidrodį (įgaubtas), kurio kreivumo spindulys 50 cm. Raskite vaizdo atstumą d_i, teigiamą vaizdui prieš veidrodį (tikrasis) ir neigiamą vaizdui už jo (menamasis).

d_o = 40 cmR = 50 cm

d_i = cm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 79,17 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 25·1,5 = 37,5 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·7,5) = 41,67 m

Iš viso

d = 37,5 + 41,67 = 79,17 m

Atsakymas

d = 79,17 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 0,5 s

Susitikimo laikas

Teigiama kryptis aukštyn, žemė – y = 0.

10 − ½g·t² = 20·t − ½g·t² → t = 10/20 = 0,5 s

Atsakymas

t = 0,5 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,479 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 25° − 0,3·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2719) = 1,479 m/s²

Atsakymas

a = 1,479 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 4,496 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4,905 − 2,453)/3 = 0,8175 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2,5·0,8175 + 2,453 = 4,496 N

Atsakymas

T = 4,496 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 2,231 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 20° = 30,07 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 20° = 10,94 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·10,94/9,81 = 2,231 s

Atsakymas

t = 2,231 s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 21,17 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 22·sin 30° = 11 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 11²/(2·9,81) = 6,167 m

Aukštis virš žemės

H = 15 + 6,167 = 21,17 m

Atsakymas

H = 21,17 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 3,785 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 1,6·sin 50° = 1,226 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,226·9,81·tan 50°) = 3,785 m/s

Atsakymas

v = 3,785 m/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 2,62 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,7) = 2,62 m/s

Atsakymas

v_min = 2,62 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 0,6796 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·800·0,05² = 1 J

Aukštis

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 1/1,472 = 0,6796 m

Atsakymas

h = 0,6796 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 90,3 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 98,1·(4 − 0,15·4,5) = 326,2 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 326,2 → x = √(2·326,2/800) = 0,903 m = 90,3 cm

Atsakymas

x = 90,3 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK = 81648 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1800·18/2500 = 12,96 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·1800·18² = 291600 J

K_after = ½·2500·12,96² = 209952 J

Prarasta energija

ΔK = 291600 − 209952 = 81648 J

Atsakymas

ΔK = 81648 J

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 953,2 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 1,4·(1 − cos 40°) = 0,3275 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,3275) = 2,535 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 4,512·2,535/0,012 = 953,2 m/s

Atsakymas

v = 953,2 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,8815 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(370/3) = 11,11 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 11,11·√(0,12² − 0,09²) = 0,8815 m/s

Atsakymas

v = 0,8815 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: K = 2,047 J

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·130·0,18² = 2,106 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·130·0,03² = 0,0585 J

Kinetinė energija

K = 2,106 − 0,0585 = 2,047 J

Atsakymas

K = 2,047 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 479,1 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 500·(343 − 0)/(343 + 15)

f′ = 479,1 Hz

Atsakymas

f′ = 479,1 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i = 66,67 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Židinio nuotolis

f = R/2 = 25 cm

Veidrodžio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/40

d_i = 66,67 cm

Spindulių diagrama

tikrasis vaizdas prieš veidrodį

Atsakymas

d_i = 66,67 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics