Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

36 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 36 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Raketos modelis paleidžiamas vertikaliai aukštyn iš rimties būsenos. Variklis 3 s suteikia jai pastovų 36 m/s² pagreitį aukštyn, po to variklis išsijungia ir raketa juda laisvai. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią raketos pasiekiamą aukštį h_max.

a = 36 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

20 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 30° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 20 kgθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

4,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 4 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 38 m/s greičiu 25° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 23 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 38 m/sθ = 25°x = 23 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 33 m/s greičiu 20° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 30 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 33 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 0,5 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 45° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite vieno apsisukimo trukmę T.

L = 0,5 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,5 kg vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas 44,65 m aukštyje ant bėgio be trinties ir pervažiuoja vertikalią 9,5 m spindulio kilpą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą N_bottom, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos apačioje.

m = 0,5 kgh = 44,65 mR = 9,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

5 kg rutuliukas kabo ant lengvo 0,8 m ilgio siūlo. Jis atitraukiamas, kol siūlas su vertikale sudaro 90° kampą, ir paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite siūlo įtempimo jėgą T, kai rutuliukas eina pro žemiausią tašką.

m = 5 kgL = 0,8 mθ = 90°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Darbas ir energijaSunkus

2,5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 1,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 2 m ilgio juostą (μ = 0,3) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 1500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 2,5 kgh = 1,5 mL = 2 mμ = 0,3k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

17 kg sviedinys, horizontaliai judantis 14 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 3 kg skeveldra toliau juda pirmyn 43 m/s greičiu. Raskite 14 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 17 kgu = 14 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 43 m/sm₂ = 14 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

20 g kulka horizontaliai įšaunama į 1 kg tašelį, kabantį ant lengvų 0,7 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 30° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 20 gM = 1 kgL = 0,7 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 1,9 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 2,59 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.

L = 1,9 mT = 2,59 s

g = m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,1 kg krovinys pritvirtinamas prie neištemptos vertikalios spyruoklės, kurios k = 490 N/m, apatinio galo ir paleidžiamas be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią spyruoklės pailgėjimą x_max cm.

m = 2,1 kgk = 490 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Daiktas yra 6 cm atstumu prieš ploną lęšį (sklaidomasis), kurio židinio nuotolis 10 cm. Raskite vaizdo atstumą d_i. Naudokite ženklų susitarimą 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 sklaidomajam lęšiui, d_i < 0 menamam vaizdui).

d_o = 6 cmf = −10 cm

d_i = cm

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Šviesolaidžio šerdies n₁ = 1,62, o apvalkalo n₂ = 1,52. Raskite jo skaitinę apertūrą NA.

n₁ = 1,62n₂ = 1,52

NA =

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 2 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/5 = 2 s

Atsakymas

t = 2 s

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 756,5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Varomoji fazė

v₁ = 36·3 = 108 m/s

h₁ = ½·36·3² = 162 m

Laisvasis skrydis aukštyn

Viršuje greitis lygus nuliui.

Δh = v₁²/(2g) = 108²/(2·9,81) = 594,5 m

h_max = 162 + 594,5 = 756,5 m

Atsakymas

h_max = 756,5 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 149,1 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 98,1 + 50,97 = 149,1 N

Atsakymas

F = 149,1 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 20,77 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 0)/8,5 = 4,616 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4,5·4,616 + 0 = 20,77 N

Atsakymas

T = 20,77 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 8,537 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 38·cos 25° = 34,44 m/s

t = x/v_x = 23/34,44 = 0,6678 s

Aukštis tuo momentu

y = 16,06·0,6678 − ½·9,81·0,6678² = 8,537 m

Atsakymas

y = 8,537 m

Prie sienos kamuolys dar kyla.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 36,49 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 33·sin 20° = 11,29 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 11,29²/(2·9,81) = 6,493 m

Aukštis virš žemės

H = 30 + 6,493 = 36,49 m

Atsakymas

H = 36,49 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 1,193 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 0,5·sin 45° = 0,3536 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,3536·9,81·tan 45°) = 1,862 m/s

Periodas

T = 2π·r/v = 2π·0,3536/1,862 = 1,193 s

Atsakymas

T = 1,193 s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: N_bottom = 51,01 N

Greitis iš energijos tvermės

v² = 2·9,81·44,65 = 876 m²/s²

Jėgos

Teigiama kryptis į centrą.

N = m·v²/R + m·g = 0,5·876/9,5 + 4,905 = 51,01 N

Atsakymas

N_bottom = 51,01 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: T = 147,2 N

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Judant apskritimu, į centrą nukreipta atstojamoji jėga turi būti lygi mv²/r.

Greitis apačioje

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 90°) = 15,7 m²/s²

Jėgos apačioje

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

T = mg + mv²/L = 49,05 + 5·15,7/0,8 = 147,2 N

Atsakymas

T = 147,2 N

Patikra: T = mg(3 − 2cos θ) = 147,2 N.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 17,16 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 24,53·(1,5 − 0,3·2) = 22,07 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 22,07 → x = √(2·22,07/1500) = 0,1716 m = 17,16 cm

Atsakymas

x = 17,16 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 7,786 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 17·14 = 238 kg·m/s

Judesio kiekis po

238 = 3·43 + 14·v′₂

v′₂ = (238 − 129)/14 = 7,786 m/s

Atsakymas

v′₂ = 7,786 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 69,18 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 0,7·(1 − cos 30°) = 0,09378 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,09378) = 1,356 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 1,02·1,356/0,02 = 69,18 m/s

Atsakymas

v = 69,18 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: g = 11,18 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Išreiškite g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,9/2,59² = 11,18 m/s²

Atsakymas

g = 11,18 m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x_max = 8,409 cm

Pusiausvyra ir amplitudė

x₀ = m·g/k = 2,1·9,81/490 = 0,04204 m = A

Žemiausias taškas

x_max = 2A = 0,08409 m = 8,409 cm

Atsakymas

x_max = 8,409 cm

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i = −3,75 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Plonojo lęšio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/6

d_i = −3,75 cm

Spindulių diagrama

menamasis, toje pačioje pusėje kaip daiktas

Atsakymas

d_i = −3,75 cm

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: NA = 0,5604

Ribinis kampas ties apvalkalu

sin θc = 1,52/1,62 = 0,9383 → θc = 69,76°

Skaitinė apertūra

NA = √(1,62² − 1,52²) = 0,5604

Atsakymas

NA = 0,5604

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics