Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

120 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 4 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 120 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 6 s greitėja 3 m/s² pagreičiu, tada 13 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 3 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 6 st₂ = 13 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

19 kg kūnas slysta žemyn nuokalne be trinties, pasvirusia 25° kampu į horizontą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 19 kgθ = 25°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

5,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 5,5 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 36 m/s greičiu ir turi nukristi 70 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažesnįjį iš dviejų galimų išmetimo kampų θ.

v₀ = 36 m/sR = 70 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 55° kampu į horizontą nuo 25 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 29 m/sθ = 55°h = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 55 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 55 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1 kg rutuliukas ant 0,7 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 9 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1 kgr = 0,7 mv = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,4. Raskite jo greitį v, nuslydus 15 m nuokalne.

θ = 35°μ = 0,4d = 15 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

1 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 11,3 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 2,5 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 1 kgh = 11,3 mR = 2,5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

15 g kulka horizontaliai įšaunama į 3,5 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 4 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 15 gM = 3,5 kgh = 4 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,25 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 27 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 20 m/s greičiu. Sąlytis trunka 10 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,25 kgv_in = 27 m/sv_out = 20 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 0,6 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 0,6 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

4 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 330 N/m, atitraukiamas 18 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 4 kgk = 330 N/mA = 18 cm

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Mažas šaltinis skleidžia garsą vienodai visomis kryptimis. Lygis 1 m atstumu nuo jo yra 70 dB. Raskite lygį β₂ 4 m atstumu, nepaisydami sugerties ir atspindžių.

β₁ = 70 dBr₁ = 1 mr₂ = 4 m

β₂ = dB

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Difrakcinė gardelė turi 400 linijų milimetrui. Šviesa, kurios bangos ilgis 550 nm, krinta į ją statmenai. Kokia didžiausia matoma šviesaus maksimumo eilė m_max?

N = 400 mm⁻¹λ = 550 nm

m_max =

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 8,333 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33,33/4 = 8,333 s

Atsakymas

t = 8,333 s

2.Kinematika

Atsakymas: s = 342 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 3·6 = 18 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·3·6² = 54 m

s₂ = 18·13 = 234 m

s₃ = 18²/(2·3) = 54 m

Visas atstumas

s = 54 + 234 + 54 = 342 m

Atsakymas

s = 342 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,146 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0) = 4,146 m/s²

Atsakymas

a = 4,146 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,905 m/s²

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 0)/11 = 4,905 m/s²

Atsakymas

a = 4,905 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: θ = 16 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Nuotolio formulė

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·70/36² = 0,5299

Kampas

2θ = 32° → θ = 16°

Atsakymas

θ = 16°

Kitas sprendinys yra 90° − θ = 74°.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 5,732 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 55° = 16,63 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 55° = 23,76 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 25 + 23,76·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (23,76 + √(564,3 + 490,5))/9,81 = 5,732 s

Atsakymas

t = 5,732 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 16,42 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·55) = 16,42 m/s

Atsakymas

v_max = 16,42 m/s (59,13 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 125,5 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9,81 + 1·9²/0,7 = 9,81 + 115,7 = 125,5 N

Atsakymas

T = 125,5 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 8,507 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·15·(0,5736 − 0,4·0,8192)) = 8,507 m/s

Atsakymas

v = 8,507 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: N = 39,63 N

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(11,3 − 5) = 123,6 m²/s²

Jėgos viršuje

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

N = mv²/R − mg = 1·123,6/2,5 − 9,81 = 39,63 N

Atsakymas

N = 39,63 N

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 207,6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,04) = 0,8859 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 3,5)·0,8859/0,015 = 207,6 m/s

Atsakymas

v = 207,6 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 1175 N

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,25·(20 + 27) = 11,75 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 11,75/0,01 = 1175 N

Atsakymas

F_avg = 1175 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 1,554 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(0,6/9,81) = 1,554 s

Atsakymas

T = 1,554 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 1,635 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(330/4) = 9,083 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,18·9,083 = 1,635 m/s

Atsakymas

v_max = 1,635 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: β₂ = 57,96 dB

Bangos: periodinė banga per vieną periodą nukeliauja vieną bangos ilgį, todėl v = fλ, kur T = 1/f. Ištemptoje stygoje v = √(T/μ), kur T yra įtempimas, o μ = m/L masė metrui. Garsas ore sklinda maždaug 343 m/s greičiu 20 °C temperatūroje, šviesa vakuume – c = 3,00 × 10⁸ m/s. Garsumas matuojamas logaritminiu mastu: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, kur I₀ = 10⁻¹² W/m², todėl 10 kartų didesnis intensyvumas prideda 10 dB. Taškinis šaltinis savo galią P skleidžia sfera: I = P/(4πr²).

Intensyvumų santykis

I₂/I₁ = (1/4)² = 0,0625

Naujas lygis

β₂ = 70 + 10·log₁₀(0,0625) = 57,96 dB

Atsakymas

β₂ = 57,96 dB

Kiekvienas atstumo padvigubinimas sumažina lygį maždaug 6 dB.

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: m_max = 4

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/400 mm = 2,5 µm

Didžiausia eilė

m ≤ d/λ = 2,5 µm/0,55 µm = 4,545 → m_max = 4

Atsakymas

m_max = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics