Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvui pakilti reikia 240 km/h greičio, o naudojamo pakilimo tako ilgis 1200 m. Kokio pastovaus pagreičio a jam reikia, pradedant iš vietos?

v₀ = 0v = 240 km/hs = 1200 m

a = m/s²

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 6 m/s greičiu nuo stogo, esančio 20 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 6 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

14 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 14 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

4,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 6 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 6 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 45° kampu virš horizontalės ir nukrinta 85 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 45°R = 85 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 40° kampu į horizontą nuo 60 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 32 m/sθ = 40°h = 60 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

60 m spindulio posūkis turi 20° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 60 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Mažas vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas bėgiu be trinties ir įvažiuoja į vertikalią 5,5 m spindulio kilpą. Iš kokio mažiausio aukščio h_min virš kilpos apačios jis turi pradėti, kad kilpos viršuje neatitrūktų nuo bėgio?

R = 5,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,35. Raskite jo greitį v, nuslydus 16 m nuokalne.

θ = 25°μ = 0,35d = 16 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

1 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 8,4 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 3 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 1 kgh = 8,4 mR = 3 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

8 g kulka horizontaliai įšaunama į 2,5 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 4 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 8 gM = 2,5 kgh = 4 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

5 g kulka horizontaliai įšaunama į 4 kg tašelį, kabantį ant lengvų 1,8 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 10° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 5 gM = 4 kgL = 1,8 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

1,9 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 320 N/m, atitraukiamas 4 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo poslinkį x nuo pusiausvyros padėties momentu t = 0,55 s (su ženklu).

m = 1,9 kgk = 320 N/mA = 4 cmt = 0,55 s

x = cm

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

0,9 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 30 N/m, atitraukiamas 9 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 0,9 kgk = 30 N/mA = 9 cm

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

1000 Hz dažnio šaltinis juda 25 m/s greičiu nuo nejudančio stebėtojo. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

450 nm bangos ilgio šviesa praeina pro 0,2 mm pločio vieną plyšį. Raskite tamsaus ruožo, kurio numeris 1, kampą θ₁ nuo tiesios krypties.

λ = 450 nma = 0,2 mmm = 1

θ₁ = °

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: a = 1,852 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v = 240/3,6 = 66,67 m/s

Pagreitis

a = v²/(2s) = 66,67²/(2·1200) = 1,852 m/s²

Atsakymas

a = 1,852 m/s²

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 21,83 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9,81) = 1,835 m

Aukštis virš žemės

h_max = 20 + 1,835 = 21,83 m

Atsakymas

h_max = 21,83 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,812 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 25° − 0,15·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1359) = 2,812 m/s²

Atsakymas

a = 2,812 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 5,185 m/s²

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 4,415)/10,5 = 5,185 m/s²

Atsakymas

a = 5,185 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 28,88 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·85/sin 90°) = 28,88 m/s

Atsakymas

v₀ = 28,88 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 151,4 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 40° = 24,51 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 40° = 20,57 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 60 + 20,57·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20,57 + √(423,1 + 1177))/9,81 = 6,175 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 24,51·6,175 = 151,4 m

Atsakymas

x = 151,4 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 14,64 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(60·9,81·tan 20°) = 14,64 m/s

Atsakymas

v = 14,64 m/s

(52,69 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: h_min = 13,75 m

Sąlyga viršuje

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Energijos tvermė

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·5,5 = 13,75 m

Atsakymas

h_min = 13,75 m

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 5,752 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·16·(0,4226 − 0,35·0,9063)) = 5,752 m/s

Atsakymas

v = 5,752 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: N = 5,886 N

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(8,4 − 6) = 47,09 m²/s²

Jėgos viršuje

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

N = mv²/R − mg = 1·47,09/3 − 9,81 = 5,886 N

Atsakymas

N = 5,886 N

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 277,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,04) = 0,8859 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 2,5)·0,8859/0,008 = 277,7 m/s

Atsakymas

v = 277,7 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 586,7 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 1,8·(1 − cos 10°) = 0,02735 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,02735) = 0,7325 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 4,005·0,7325/0,005 = 586,7 m/s

Atsakymas

v = 586,7 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x = 2,626 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(320/1,9) = 12,98 rad/s

ω·t = 12,98·0,55 = 7,138 rad

Poslinkis

x = A·cos(ω·t) = 4·cos(7,138) = 2,626 cm

Atsakymas

x = 2,626 cm

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,5196 m/s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(30/0,9) = 5,774 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,09·5,774 = 0,5196 m/s

Atsakymas

v_max = 0,5196 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 932,1 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1000·(343 − 0)/(343 + 25)

f′ = 932,1 Hz

Atsakymas

f′ = 932,1 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: θ₁ = 0,1289 °

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Tamsaus ruožo sąlyga

sin θ = mλ/a = 0,00225

θ = 0,1289°

Atsakymas

θ₁ = 0,1289°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics