Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

72 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 4 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 72 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 10 m/s greičiu nuo stogo, esančio 40 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 10 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

7 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 20° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 7 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

9 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 9 kgm₂ = 4 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 20 m/s greičiu 35° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 8 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 20 m/sθ = 35°x = 8 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 50° kampu į horizontą nuo 30 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 25 m/sθ = 50°h = 30 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 1,7 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,7. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią kampinį greitį ω rad/s.

r = 1,7 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Mažas vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas bėgiu be trinties ir įvažiuoja į vertikalią 2 m spindulio kilpą. Iš kokio mažiausio aukščio h_min virš kilpos apačios jis turi pradėti, kad kilpos viršuje neatitrūktų nuo bėgio?

R = 2 mv₀ = 0

h_min = m

9.Darbas ir energijaVidutinis

Automobilis, važiuojantis lygiu keliu 70 km/h greičiu, staigiai stabdo ir užblokuotais ratais slysta iki sustojimo. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,4. Raskite stabdymo kelią d.

v = 70 km/hμ = 0,4g = 9,81 m/s²

d = m

10.Darbas ir energijaSunkus

1 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 2,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 2,5 m ilgio juostą (μ = 0,3) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 1500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 1 kgh = 2,5 mL = 2,5 mμ = 0,3k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

600 kg automobilis, judantis 22 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 1400 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek procentų ΔK/K pradinės kinetinės energijos prarandama?

m₁ = 600 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,1 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 11 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 4 m/s greičiu. Sąlytis trunka 20 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,1 kgv_in = 11 m/sv_out = 4 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

0,2 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 480 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 17 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 2 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 0,2 kgk = 480 N/mA = 17 cmx = 2 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

0,7 kg krovinys pritvirtinamas prie neištemptos vertikalios spyruoklės, kurios k = 460 N/m, apatinio galo ir paleidžiamas be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią spyruoklės pailgėjimą x_max cm.

m = 0,7 kgk = 460 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

300 Hz dažnio šaltinis juda 10 m/s greičiu nuo nejudančio stebėtojo. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

532 nm bangos ilgio šviesa krinta į du plyšius, nutolusius 0,3 mm. Ekranas yra 2 m atstumu. Raskite atstumą y₁ nuo centrinio šviesaus ruožo iki šviesaus ruožo, kurio numeris 1.

λ = 532 nmd = 0,3 mmL = 2 mm = 1

y₁ = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 5 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/4 = 5 s

Atsakymas

t = 5 s

2.Kinematika

Atsakymas: t = 4,052 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−40 = 10·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 10·t − 40 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (10 + √(10² + 2·9,81·40))/9,81 = 4,052 s

Atsakymas

t = 4,052 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,972 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 20° − 0,15·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,141) = 1,972 m/s²

Atsakymas

a = 1,972 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 35,32 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 26,49)/13 = 0,981 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·0,981 + 26,49 = 35,32 N

Atsakymas

T = 35,32 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 4,432 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Laikas iki sienos

v_x = 20·cos 35° = 16,38 m/s

t = x/v_x = 8/16,38 = 0,4883 s

Aukštis tuo momentu

y = 11,47·0,4883 − ½·9,81·0,4883² = 4,432 m

Atsakymas

y = 4,432 m

Prie sienos kamuolys dar kyla.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 82 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 50° = 16,07 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 50° = 19,15 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 30 + 19,15·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19,15 + √(366,8 + 588,6))/9,81 = 5,103 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 16,07·5,103 = 82 m

Atsakymas

x = 82 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: ω = 2,871 rad/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,7·1,7)) = 2,871 rad/s

Atsakymas

ω = 2,871 rad/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: h_min = 5 m

Sąlyga viršuje

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Energijos tvermė

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·2 = 5 m

Atsakymas

h_min = 5 m

9.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 48,18 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Greitis pagrindiniais vienetais

v = 70/3,6 = 19,44 m/s

Energijos balansas

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19,44²/(2·0,4·9,81) = 48,18 m

Atsakymas

d = 48,18 m

Padvigubinus greitį, stabdymo kelias pailgėja keturis kartus.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 15,13 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 9,81·(2,5 − 0,3·2,5) = 17,17 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 17,17 → x = √(2·17,17/1500) = 0,1513 m = 15,13 cm

Atsakymas

x = 15,13 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK/K = 70 %

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·22/2000 = 6,6 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·600·22² = 145200 J

K_after = ½·2000·6,6² = 43560 J

Prarasta dalis

ΔK/K = 101640/145200 = 70 %

Atsakymas

ΔK/K = 70 %

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 1,5 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,1·(4 + 11) = 1,5 N·s

Atsakymas

J = 1,5 N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 8,27 m/s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(480/0,2) = 48,99 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 48,99·√(0,17² − 0,02²) = 8,27 m/s

Atsakymas

v = 8,27 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x_max = 2,986 cm

Pusiausvyra ir amplitudė

x₀ = m·g/k = 0,7·9,81/460 = 0,01493 m = A

Žemiausias taškas

x_max = 2A = 0,02986 m = 2,986 cm

Atsakymas

x_max = 2,986 cm

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 291,5 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 0)/(343 + 10)

f′ = 291,5 Hz

Atsakymas

f′ = 291,5 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: y₁ = 3,547 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Ruožų tarpas

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·2/(0,3 × 10⁻³) = 3,547 mm

Ruožo numeris 1

y₁ = 1·3,547 = 3,547 mm

Atsakymas

y₁ = 3,547 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics