Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

72 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 7 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 72 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 20 m/s greičiu nuo stogo, esančio 25 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 20 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

Dėžė slysta lygiomis grindimis 9,5 m/s pradiniu greičiu ir sustoja nuslydusi 15 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kinetinės trinties koeficientą μ.

v₀ = 9,5 m/sd = 15 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Niutono dėsniaiSunkus

Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 55 N jėga traukia priekinę 1 kg kaladėlę; 6 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kaladėlių pagreitį a.

m₁ = 6 kgm₂ = 1 kgF = 55 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 45° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 34 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 60° kampu į horizontą nuo 10 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 16 m/sθ = 60°h = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 50 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 50 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 0,6 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 0,6 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,2 kg rutuliukas kabo ant lengvo 0,8 m ilgio siūlo. Jis atitraukiamas, kol siūlas su vertikale sudaro 40° kampą, ir paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite siūlo įtempimo jėgą T, kai rutuliukas eina pro žemiausią tašką.

m = 0,2 kgL = 0,8 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Darbas ir energijaSunkus

3 kg kaladėlė guli ant šiurkštaus horizontalaus stalo (μ = 0,2). Lengvas siūlas nuo jos eina per lygų skridinį stalo krašte prie kabančios 6 kg kaladėlės. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Raskite kaladėlių greitį v, kai kabanti kaladėlė nusileidžia 2 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 6 kgμ = 0,2d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

11 kg sviedinys, horizontaliai judantis 36 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 1 kg skeveldra toliau juda pirmyn 93 m/s greičiu. Raskite 10 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 11 kgu = 36 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 93 m/sm₂ = 10 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

5 g kulka horizontaliai įšaunama į 2,5 kg tašelį, kabantį ant lengvų 1,6 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 25° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 5 gM = 2,5 kgL = 1,6 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

3,3 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 170 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 13 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 1 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 3,3 kgk = 170 N/mA = 13 cmx = 1 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

15 g kulka, lekianti 450 m/s greičiu, pataiko į 1 kg tašelį, gulintį ant paviršiaus be trinties, ir jame įstringa. Tašelis pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės, kurios k = 600 N/m. Raskite atsiradusių svyravimų amplitudę A cm.

m = 15 gv = 450 m/sM = 1 kgk = 600 N/m

A = cm

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Daiktas yra 25 cm atstumu prieš ploną lęšį (glaudžiamasis), kurio židinio nuotolis 5 cm. Raskite vaizdo atstumą d_i. Naudokite ženklų susitarimą 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 sklaidomajam lęšiui, d_i < 0 menamam vaizdui).

d_o = 25 cmf = 5 cm

d_i = cm

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Du ploni lęšiai turi bendrą ašį ir yra nutolę 50 cm: 1 lęšis, kurio f₁ = 10 cm, ir 2 lęšis, kurio f₂ = 20 cm. Daiktas yra 40 cm atstumu prieš 1 lęšį. Raskite galutinio vaizdo padėtį d_i2, matuojamą nuo 2 lęšio (teigiama už 2 lęšio, tikrasis vaizdas teigiamas).

f₁ = 10 cmf₂ = 20 cms = 50 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 28,57 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·7) = 28,57 m

Atsakymas

s = 28,57 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 5,081 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−25 = 20·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 20·t − 25 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (20 + √(20² + 2·9,81·25))/9,81 = 5,081 s

Atsakymas

t = 5,081 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: μ = 0,3067

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

a = v₀²/(2d) = 9,5²/(2·15) = 3,008 m/s²

Trinties koeficientas

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3,008/9,81 = 0,3067

Atsakymas

μ = 0,3067

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 5,405 m/s²

Visa sistema

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (55 − 17,17)/7 = 5,405 m/s²

Atsakymas

a = 5,405 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 29,46 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 45° = 24,04 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 45° = 24,04 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 24,04²/(2·9,81) = 29,46 m

Atsakymas

H = 29,46 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 3,421 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 60° = 8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 60° = 13,86 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 10 + 13,86·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13,86 + √(192 + 196,2))/9,81 = 3,421 s

Atsakymas

t = 3,421 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 15,66 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·50) = 15,66 m/s

Atsakymas

v_max = 15,66 m/s (56,38 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 2,426 m/s

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,6) = 2,426 m/s

Atsakymas

v_min = 2,426 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: T = 2,88 N

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Judant apskritimu, į centrą nukreipta atstojamoji jėga turi būti lygi mv²/r.

Greitis apačioje

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 40°) = 3,672 m²/s²

Jėgos apačioje

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·3,672/0,8 = 2,88 N

Atsakymas

T = 2,88 N

Patikra: T = mg(3 − 2cos θ) = 2,88 N.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,852 m/s

Išsiskyrusi ir prarasta energija

m₂g·d = 58,86·2 = 117,7 J

μ·m₁g·d = 0,2·29,43·2 = 11,77 J

Abiejų kaladėlių kinetinė energija

½(m₁ + m₂)v² = 105,9 → v = √(2·105,9/9) = 4,852 m/s

Atsakymas

v = 4,852 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 30,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 11·36 = 396 kg·m/s

Judesio kiekis po

396 = 1·93 + 10·v′₂

v′₂ = (396 − 93)/10 = 30,3 m/s

Atsakymas

v′₂ = 30,3 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 859,2 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 1,6·(1 − cos 25°) = 0,1499 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,1499) = 1,715 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 2,505·1,715/0,005 = 859,2 m/s

Atsakymas

v = 859,2 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,9303 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(170/3,3) = 7,177 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 7,177·√(0,13² − 0,01²) = 0,9303 m/s

Atsakymas

v = 0,9303 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: A = 27,35 cm

Greitis po smūgio

V = m·v/(m + M) = 0,015·450/1,015 = 6,65 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(k/(m + M)) = √(600/1,015) = 24,31 rad/s

Amplitudė

A = V/ω = 6,65/24,31 = 0,2735 m = 27,35 cm

Atsakymas

A = 27,35 cm

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i = 6,25 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Plonojo lęšio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/25

d_i = 6,25 cm

Spindulių diagrama

tikrasis, kitoje lęšio pusėje

Atsakymas

d_i = 6,25 cm

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i2 = 44 cm

1 lęšio vaizdas

1/d_i1 = 1/10 − 1/40 → d_i1 = 13,33 cm

2 lęšio daiktas

d_o2 = 50 − 13,33 = 36,67 cm

Galutinis vaizdas

1/d_i2 = 1/20 − 1/36,67 → d_i2 = 44 cm

Atsakymas

d_i2 = 44 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics