Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

60 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 0,7 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 6,5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 60 km/ht_r = 0,7 sa = −6,5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Raketos modelis paleidžiamas vertikaliai aukštyn iš rimties būsenos. Variklis 2 s suteikia jai pastovų 22 m/s² pagreitį aukštyn, po to variklis išsijungia ir raketa juda laisvai. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią raketos pasiekiamą aukštį h_max.

a = 22 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

Dėžė slysta lygiomis grindimis 5 m/s pradiniu greičiu ir sustoja nuslydusi 13 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kinetinės trinties koeficientą μ.

v₀ = 5 m/sd = 13 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Niutono dėsniaiSunkus

10 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 5 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 10 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 65° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 32 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 25 m/s greičiu 40° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 7 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 25 m/sθ = 40°h_roof = 7 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 20 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,7. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 20 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

250 m spindulio posūkis turi 20° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 250 mθ = 20°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,35. Raskite jo greitį v, nuslydus 3 m nuokalne.

θ = 25°μ = 0,35d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 17,5 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 5 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 2 kgh = 17,5 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

4 kg vežimėlis, judantis 10 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 1,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 4 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,35 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 30 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 10 m/s greičiu. Sąlytis trunka 25 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,35 kgv_in = 30 m/sv_out = 10 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 1,5 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 4 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.

L = 1,5 mT = 4 s

g = m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Kūnas atlieka harmoninius svyravimus, kurių periodas 0,5 s, o amplitudė 10 cm. Per kokį trumpiausią laiką t jis nuo pusiausvyros padėties pasislenka iki 5 cm poslinkio?

T = 0,5 sA = 10 cmx = 5 cm

t = s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Stebėtojas juda 5 m/s greičiu nuo nejudančio 300 Hz dažnio šaltinio. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 300 Hzv = 343 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

600 nm bangos ilgio šviesa praeina pro 0,2 mm pločio vieną plyšį. Raskite centrinio šviesaus maksimumo plotį w ekrane, esančiame 1,5 m atstumu (tarp pirmųjų tamsių ruožų abiejose pusėse).

λ = 600 nma = 0,2 mmL = 1,5 m

w = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 33,03 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 16,67·0,7 = 11,67 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·6,5) = 21,37 m

Iš viso

d = 11,67 + 21,37 = 33,03 m

Atsakymas

d = 33,03 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 142,7 m

Varomoji fazė

v₁ = 22·2 = 44 m/s

h₁ = ½·22·2² = 44 m

Laisvasis skrydis aukštyn

Viršuje greitis lygus nuliui.

Δh = v₁²/(2g) = 44²/(2·9,81) = 98,67 m

h_max = 44 + 98,67 = 142,7 m

Atsakymas

h_max = 142,7 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: μ = 0,09802

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

a = v₀²/(2d) = 5²/(2·13) = 0,9615 m/s²

Trinties koeficientas

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,9615/9,81 = 0,09802

Atsakymas

μ = 0,09802

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 32,7 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 0)/15 = 3,27 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 10·3,27 + 0 = 32,7 N

Atsakymas

T = 32,7 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 42,87 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 65° = 13,52 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 65° = 29 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 29²/(2·9,81) = 42,87 m

Atsakymas

H = 42,87 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 52,84 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 19,15 m/s, v_y = 16,07 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

7 = 16,07·t − 4,905·t²

t = (16,07 + √(16,07² − 2·9,81·7))/9,81 = 2,759 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 19,15·2,759 = 52,84 m

Atsakymas

x = 52,84 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 11,72 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·20) = 11,72 m/s

Atsakymas

v_max = 11,72 m/s (42,19 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 36,51 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(250·9,81·0,483/0,8884) = 36,51 m/s

Atsakymas

v_max = 36,51 m/s

(131,5 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 2,491 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·3·(0,4226 − 0,35·0,9063)) = 2,491 m/s

Atsakymas

v = 2,491 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: N = 39,24 N

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(17,5 − 10) = 147,2 m²/s²

Jėgos viršuje

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

N = mv²/R − mg = 2·147,2/5 − 19,62 = 39,24 N

Atsakymas

N = 39,24 N

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 4,545 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (4 − 1,5)/(4 + 1,5)·10 = 4,545 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1,5)·10 = 14,55 m/s

Atsakymas

v′₁ = 4,545 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 14 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,35·(10 + 30) = 14 N·s

Atsakymas

J = 14 N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: g = 3,701 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Išreiškite g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,5/4² = 3,701 m/s²

Atsakymas

g = 3,701 m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: t = 0,04167 s

Kampinis dažnis

ω = 2π/T = 2π/0,5 = 12,57 rad/s

Išreiškite laiką

0,5 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,5) = 0,5236 rad

t = 0,5236/12,57 = 0,04167 s

Atsakymas

t = 0,04167 s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 295,6 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 5)/(343 + 0)

f′ = 295,6 Hz

Atsakymas

f′ = 295,6 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: w = 9 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Pirmasis tamsus ruožas

y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·1,5/(0,2 × 10⁻³) = 4,5 mm

Centrinio maksimumo plotis

w = 2y₁ = 9 mm

Atsakymas

w = 9 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics