Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvas pajuda iš vietos ir pakilimo taku tolygiai greitėja 1,75 m/s² pagreičiu. Raskite jo greitį v nuriedėjus 1200 m.

v₀ = 0a = 1,75 m/s²s = 1200 m

v = m/s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 7 m/s greičiu nuo stogo, esančio 5 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 7 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

8 kg ir 5,5 kg kroviniai kabo abipus lengvo skridinio be trinties, sujungti lengvu siūlu. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite krovinių pagreitį a.

m₁ = 8 kgm₂ = 5,5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

1,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 1 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 1 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 60° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 28 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 55° kampu į horizontą nuo 45 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 11 m/sθ = 55°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 1 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 50° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite vieno apsisukimo trukmę T.

L = 1 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,7 kg rutuliukas ant 0,7 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 5 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1,7 kgr = 0,7 mv = 5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

10 kg kūnas nuslysta 10 m nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,3. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 10 kgθ = 35°μ = 0,3d = 10 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

4 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 1,5 m ilgio juostą (μ = 0,1) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 4000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 4 kgh = 5 mL = 1,5 mμ = 0,1k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

15 g kulka horizontaliai įšaunama į 2,5 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 21 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 15 gM = 2,5 kgh = 21 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1200 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1000 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 13 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1200 kgm₂ = 1000 kgd = 13 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 2 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 2 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 290 N/m, atitraukiamas 7 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 1 kgk = 290 N/mA = 7 cm

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose atviras vamzdis yra 0,5 m ilgio. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite jo 3-osios harmonikos dažnį f₃.

v = 343 m/sn = 3L = 0,5 m

f₃ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Stovintis stovėjimo jutiklis siunčia 35 kHz ultragarsą į automobilį, artėjantį 20 m/s greičiu. Raskite jutiklio gaunamo aido dažnį f″ (garso greitis 343 m/s).

f = 35 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: v = 64,81 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Greitis nuvažiavus atstumą

v = √(2·a·s) = √(2·1,75·1200) = 64,81 m/s

Atsakymas

v = 64,81 m/s

(233,3 km/h)

2.Kinematika

Atsakymas: t = 1,95 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−5 = 7·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 7·t − 5 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (7 + √(7² + 2·9,81·5))/9,81 = 1,95 s

Atsakymas

t = 1,95 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,817 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Pagreitis

Varomoji atstojamoji jėga yra svorių skirtumas; ji judina visą masę.

a = (8 − 5,5)·9,81/(8 + 5,5) = 1,817 m/s²

Atsakymas

a = 1,817 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,924 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9,81 − 0)/2,5 = 3,924 m/s²

Atsakymas

a = 3,924 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 69,21 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 60° = 14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 60° = 24,25 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·24,25/9,81 = 4,944 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 14·4,944 = 69,21 m

Atsakymas

x = 69,21 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 25,77 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 55° = 6,309 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 55° = 9,011 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 45 + 9,011·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,011 + √(81,19 + 882,9))/9,81 = 4,084 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 6,309·4,084 = 25,77 m

Atsakymas

x = 25,77 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 1,608 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 1·sin 50° = 0,766 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,766·9,81·tan 50°) = 2,993 m/s

Periodas

T = 2π·r/v = 2π·0,766/2,993 = 1,608 s

Atsakymas

T = 1,608 s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 77,39 N

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,7·9,81 + 1,7·5²/0,7 = 16,68 + 60,71 = 77,39 N

Atsakymas

T = 77,39 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 241,1 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 98,1·0,8192 = 80,36 N

F = μN = 0,3·80,36 = 24,11 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 24,11·10 = 241,1 J

Atsakymas

W_f = 241,1 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 30,85 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 39,24·(5 − 0,1·1,5) = 190,3 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 190,3 → x = √(2·190,3/4000) = 0,3085 m = 30,85 cm

Atsakymas

x = 30,85 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 340,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,21) = 2,03 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 2,5)·2,03/0,015 = 340,3 m/s

Atsakymas

v = 340,3 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 26,19 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·13) = 14,28 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2200·14,28/1200 = 26,19 m/s

Atsakymas

v₁ = 26,19 m/s

(94,28 km/h)

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,994 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2/2π)² = 0,994 m

Atsakymas

L = 0,994 m

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 1,192 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(290/1) = 17,03 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,07·17,03 = 1,192 m/s

Atsakymas

v_max = 1,192 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f₃ = 1029 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Šios modos bangos ilgis

λ = 2L/n = 2·0,5/3 = 0,3333 m

Dažnis

f = v/λ = 343/0,3333 = 1029 Hz

Atsakymas

f₃ = 1029 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f″ = 39334 Hz

Dažnis prie automobilio

f′ = 35000·(343 + 20)/343 = 37041 Hz

Aido dažnis

f″ = f′·343/(343 − 20) = 39334 Hz

Atsakymas

f″ = 39334 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics