Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

60 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 6,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 60 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 16 m/s greičiu nuo stogo, esančio 25 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 16 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

10 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 25° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 10 kgθ = 25°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 20° rampa 11 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 11 m/sθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 45° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 30 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 30° kampu į horizontą nuo 55 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 34 m/sθ = 30°h = 55 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 20 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,7. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 20 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

260 m spindulio posūkis turi 10° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 260 mθ = 10°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

1200 kg automobilis važiuoja į 6° šlaitą pastoviu 36 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 550 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 1200 kgθ = 6°F_r = 550 Nv = 36 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

25° šlaito apačioje esanti 3000 N/m standumo spyruoklė suspaudžiama 20 cm prie 1 kg kaladėlės ir atleidžiama. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir šlaito koeficientas 0,3. Kokį atstumą d aukštyn šlaitu nuo paleidimo taško kaladėlė nuslenka, kol sustoja? (Nepaisykite trumpo atstumo, kuriame stumia spyruoklė, t. y. trintį ir sunkio jėgą imkite visame atstume d.)

m = 1 kgk = 3000 N/mx = 20 cmθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

2,5 kg vežimėlis, judantis 7 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 0,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

20 g kulka horizontaliai įšaunama į 1,5 kg tašelį, kabantį ant lengvų 0,5 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 40° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 20 gM = 1,5 kgL = 0,5 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 1,5 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 1,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

0,8 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 230 N/m, atitraukiamas 2 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 0,8 kgk = 230 N/mA = 2 cm

a_max = m/s²

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose pritvirtinta styga yra 1 m ilgio; bangos juo sklinda 200 m/s greičiu. Raskite jo 5-osios harmonikos dažnį f₅.

v = 200 m/sn = 5L = 1 m

f₅ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

589 nm bangos ilgio šviesa praeina pro 0,12 mm pločio vieną plyšį. Raskite centrinio šviesaus maksimumo plotį w ekrane, esančiame 2,5 m atstumu (tarp pirmųjų tamsių ruožų abiejose pusėse).

λ = 589 nma = 0,12 mmL = 2,5 m

w = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 21,37 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·6,5) = 21,37 m

Atsakymas

s = 21,37 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 4,416 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−25 = 16·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 16·t − 25 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (16 + √(16² + 2·9,81·25))/9,81 = 4,416 s

Atsakymas

t = 4,416 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 77,02 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 41,46 + 35,56 = 77,02 N

Atsakymas

F = 77,02 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 11,64 m

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 20° + 0,2·cos 20°) = 5,199 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 11²/(2·5,199) = 11,64 m

Atsakymas

d = 11,64 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 91,74 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 45° = 21,21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 45° = 21,21 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·21,21/9,81 = 4,325 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 21,21·4,325 = 91,74 m

Atsakymas

x = 91,74 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 162 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 30° = 29,44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 30° = 17 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 55 + 17·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17 + √(289 + 1079))/9,81 = 5,503 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 29,44·5,503 = 162 m

Atsakymas

x = 162 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 11,72 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·20) = 11,72 m/s

Atsakymas

v_max = 11,72 m/s (42,19 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 31,54 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(260·9,81·0,3706/0,9501) = 31,54 m/s

Atsakymas

v_max = 31,54 m/s

(113,6 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 17,81 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 1200·9,81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 6° = 1231 N

F = 1231 + 550 = 1781 N

Galia

v = 36/3,6 = 10 m/s

P = F·v = 1781·10 = 17805 W = 17,81 kW

Atsakymas

P = 17,81 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 8,807 m

Spyruoklės energija

x = 20 cm = 0,2 m

½kx² = ½·3000·0,2² = 60 J

Energijos balansas nuokalne

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 60/(9,81·(0,4226 + 0,3·0,9063)) = 8,807 m

Atsakymas

d = 8,807 m

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 4,667 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (2,5 − 0,5)/(2,5 + 0,5)·7 = 4,667 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 0,5)·7 = 11,67 m/s

Atsakymas

v′₁ = 4,667 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 115,1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 0,5·(1 − cos 40°) = 0,117 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,117) = 1,515 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 1,52·1,515/0,02 = 115,1 m/s

Atsakymas

v = 115,1 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 2,457 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(1,5/9,81) = 2,457 s

Atsakymas

T = 2,457 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 5,75 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(230/0,8) = 16,96 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,02·16,96² = 5,75 m/s²

Atsakymas

a_max = 5,75 m/s²

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f₅ = 500 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Šios modos bangos ilgis

λ = 2L/n = 2·1/5 = 0,4 m

Dažnis

f = v/λ = 200/0,4 = 500 Hz

Atsakymas

f₅ = 500 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: w = 24,54 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Pirmasis tamsus ruožas

y₁ = λL/a = 589 × 10⁻⁹·2,5/(0,12 × 10⁻³) = 12,27 mm

Centrinio maksimumo plotis

w = 2y₁ = 24,54 mm

Atsakymas

w = 24,54 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics