Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvas pajuda iš vietos ir pakilimo taku tolygiai greitėja 3,5 m/s² pagreičiu. Raskite jo greitį v nuriedėjus 1700 m.

v₀ = 0a = 3,5 m/s²s = 1700 m

v = m/s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys A be pradinio greičio numetamas iš 40 m aukščio. Tuo pačiu metu kamuolys B tiesiai po juo nuo žemės išmetamas vertikaliai aukštyn 17 m/s greičiu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kada kamuoliai susitinka? Raskite t.

H = 40 mv_0B = 17 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

5 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 25° kampą virš horizontalės, 50 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 5 kgF = 50 Nθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

9 kg kaladėlė ant 40° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 9 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 9 kgm₂ = 9 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 34 m/s greičiu ir turi nukristi 85 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažesnįjį iš dviejų galimų išmetimo kampų θ.

v₀ = 34 m/sR = 85 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 55° kampu į horizontą nuo 25 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 34 m/sθ = 55°h = 25 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 1,8 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 45° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rutuliuko greitį v.

L = 1,8 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,8 kg rutuliukas ant 0,6 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 5 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1,8 kgr = 0,6 mv = 5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,3. Raskite jo greitį v, nuslydus 4 m nuokalne.

θ = 40°μ = 0,3d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kaladėlė iš rimties būsenos 35° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 25 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 8 m aukštyn šlaitu.

m = 2 kgF = 25 Nθ = 35°μ = 0,1d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

2,5 kg vežimėlis, judantis 12 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 2 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1300 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1900 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 11 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1300 kgm₂ = 1900 kgd = 11 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 3 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 3 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,6 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 470 N/m, atitraukiamas 18 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 1,6 kgk = 470 N/mA = 18 cm

a_max = m/s²

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Stebėtojas juda 15 m/s greičiu nejudančio 500 Hz dažnio šaltinio link. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 500 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

450 nm bangos ilgio šviesa statmenai krinta į gardelę, turinčią 1200 linijų milimetrui. Raskite 1 eilės maksimumo kampą θ₁.

N = 1200 mm⁻¹λ = 450 nmm = 1

θ₁ = °

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: v = 109,1 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Greitis nuvažiavus atstumą

v = √(2·a·s) = √(2·3,5·1700) = 109,1 m/s

Atsakymas

v = 109,1 m/s

(392,7 km/h)

2.Kinematika

Atsakymas: t = 2,353 s

Susitikimo laikas

Teigiama kryptis aukštyn, žemė – y = 0.

40 − ½g·t² = 17·t − ½g·t² → t = 40/17 = 2,353 s

Atsakymas

t = 2,353 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 7,667 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 49,05 − 50·sin 25° = 27,92 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 45,32 − 6,98

a = 38,34/5 = 7,667 m/s²

Atsakymas

a = 7,667 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,189 m/s²

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 88,29 N

m₁·g·sin θ = 56,75 N

μ·m₁·g·cos θ = 10,15 N

Sistemos pagreitis

a = (88,29 − 56,75 − 10,15)/18 = 1,189 m/s²

Atsakymas

a = 1,189 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: θ = 23,08 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Nuotolio formulė

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·85/34² = 0,7213

Kampas

2θ = 46,16° → θ = 23,08°

Atsakymas

θ = 23,08°

Kitas sprendinys yra 90° − θ = 66,92°.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 126,1 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 55° = 19,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 55° = 27,85 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 25 + 27,85·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (27,85 + √(775,7 + 490,5))/9,81 = 6,466 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 19,5·6,466 = 126,1 m

Atsakymas

x = 126,1 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 3,534 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 1,8·sin 45° = 1,273 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,273·9,81·tan 45°) = 3,534 m/s

Atsakymas

v = 3,534 m/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 92,66 N

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,8·9,81 + 1,8·5²/0,6 = 17,66 + 75 = 92,66 N

Atsakymas

T = 92,66 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 5,693 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·4·(0,6428 − 0,3·0,766)) = 5,693 m/s

Atsakymas

v = 5,693 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 9,855 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 11,25 N

μ·mg·cos θ = 1,607 N

Darbas ir energija

½mv² = (25 − 12,86)·8 = 97,11 J

v = √(2·97,11/2) = 9,855 m/s

Atsakymas

v = 9,855 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 1,333 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (2,5 − 2)/(2,5 + 2)·12 = 1,333 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 2)·12 = 13,33 m/s

Atsakymas

v′₁ = 1,333 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 28,01 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·11) = 11,38 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3200·11,38/1300 = 28,01 m/s

Atsakymas

v₁ = 28,01 m/s

(100,8 km/h)

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 2,236 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(3/2π)² = 2,236 m

Atsakymas

L = 2,236 m

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 52,88 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(470/1,6) = 17,14 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,18·17,14² = 52,88 m/s²

Atsakymas

a_max = 52,88 m/s²

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 521,9 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 500·(343 + 15)/(343 − 0)

f′ = 521,9 Hz

Atsakymas

f′ = 521,9 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: θ₁ = 32,68 °

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/1200 mm = 8,333 × 10⁻⁷ m

Gardelės lygtis

sin θ = mλ/d = 1·450 × 10⁻⁹/(8,333 × 10⁻⁷) = 0,54

θ = 32,68°

Atsakymas

θ₁ = 32,68°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics