Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

100 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 4,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 100 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Akmuo be pradinio greičio numetamas į šulinį. Pliūpsnis išgirstamas praėjus 5 s nuo akmens paleidimo. Garso greitis 343 m/s; nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite šulinio gylį d.

t_total = 5 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

14 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 14 kgθ = 45°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 25° rampa 4,5 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 4,5 m/sθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 24 m/s greičiu ir turi nukristi 40 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažesnįjį iš dviejų galimų išmetimo kampų θ.

v₀ = 24 m/sR = 40 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 25° kampu į horizontą nuo 25 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 14 m/sθ = 25°h = 25 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja per kelio kauburio viršūnę, kuri yra 30 m spindulio apskritimo lankas. Imkite g = 9,81 m/s². Viršijus kokį greitį v_max ratai viršūnėje atitrūksta nuo kelio?

r = 30 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 1,2 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 1,2 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

2000 kg automobilis važiuoja į 3° šlaitą pastoviu 90 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 450 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 2000 kgθ = 3°F_r = 450 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

8 kg kaladėlė guli ant šiurkštaus horizontalaus stalo (μ = 0,2). Lengvas siūlas nuo jos eina per lygų skridinį stalo krašte prie kabančios 5 kg kaladėlės. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Raskite kaladėlių greitį v, kai kabanti kaladėlė nusileidžia 1 m.

m₁ = 8 kgm₂ = 5 kgμ = 0,2d = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

2000 kg automobilis, judantis 19 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 600 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek procentų ΔK/K pradinės kinetinės energijos prarandama?

m₁ = 2000 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

15 g kulka horizontaliai įšaunama į 4 kg tašelį, kabantį ant lengvų 2 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 40° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 15 gM = 4 kgL = 2 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 1,5 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 3,99 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.

L = 1,5 mT = 3,99 s

g = m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 30 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 4 cm amplitude. Raskite spyruoklėje sukauptą energiją U, kai krovinys yra 2 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 30 N/mA = 4 cmx = 2 cm

U = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Daiktas yra 4 cm atstumu prieš ploną lęšį (glaudžiamasis), kurio židinio nuotolis 20 cm. Raskite vaizdo atstumą d_i. Naudokite ženklų susitarimą 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 sklaidomajam lęšiui, d_i < 0 menamam vaizdui).

d_o = 4 cmf = 20 cm

d_i = cm

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Stovintis stovėjimo jutiklis siunčia 30 kHz ultragarsą į automobilį, artėjantį 15 m/s greičiu. Raskite jutiklio gaunamo aido dažnį f″ (garso greitis 343 m/s).

f = 30 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 6,173 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/4,5 = 6,173 s

Atsakymas

t = 6,173 s

2.Kinematika

Atsakymas: d = 107,7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Dvi laiko dalys

½·9,81·t₁² = 343·(5 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1715 = 0

Kritimo trukmė

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1715))/(2·4,905) = 4,686 s

Gylis

d = ½·9,81·4,686² = 107,7 m

Atsakymas

d = 107,7 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 5,896 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 45° − 0,15·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1061) = 5,896 m/s²

Atsakymas

a = 5,896 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 1,59 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 25° + 0,25·cos 25°) = 6,369 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 4,5²/(2·6,369) = 1,59 m

Atsakymas

d = 1,59 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: θ = 21,47 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Nuotolio formulė

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·40/24² = 0,6813

Kampas

2θ = 42,94° → θ = 21,47°

Atsakymas

θ = 21,47°

Kitas sprendinys yra 90° − θ = 68,53°.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 37,3 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 25° = 12,69 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 25° = 5,917 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 25 + 5,917·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5,917 + √(35,01 + 490,5))/9,81 = 2,94 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 12,69·2,94 = 37,3 m

Atsakymas

x = 37,3 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 17,16 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Normalinė jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·30) = 17,16 m/s

Atsakymas

v_max = 17,16 m/s

(61,76 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 3,431 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,2) = 3,431 m/s

Atsakymas

v_min = 3,431 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 36,92 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 2000·9,81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 3° = 1027 N

F = 1027 + 450 = 1477 N

Galia

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 1477·25 = 36921 W = 36,92 kW

Atsakymas

P = 36,92 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 2,265 m/s

Išsiskyrusi ir prarasta energija

m₂g·d = 49,05·1 = 49,05 J

μ·m₁g·d = 0,2·78,48·1 = 15,7 J

Abiejų kaladėlių kinetinė energija

½(m₁ + m₂)v² = 33,35 → v = √(2·33,35/13) = 2,265 m/s

Atsakymas

v = 2,265 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK/K = 23,08 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·19/2600 = 14,62 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·2000·19² = 361000 J

K_after = ½·2600·14,62² = 277692 J

Prarasta dalis

ΔK/K = 83308/361000 = 23,08 %

Atsakymas

ΔK/K = 23,08 %

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 811 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 2·(1 − cos 40°) = 0,4679 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,4679) = 3,03 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 4,015·3,03/0,015 = 811 m/s

Atsakymas

v = 811 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: g = 3,72 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Išreiškite g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,5/3,99² = 3,72 m/s²

Atsakymas

g = 3,72 m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: U = 0,006 J

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·30·0,04² = 0,024 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·30·0,02² = 0,006 J

Atsakymas

U = 0,006 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i = −5 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Plonojo lęšio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/4

d_i = −5 cm

Spindulių diagrama

menamasis, toje pačioje pusėje kaip daiktas

Atsakymas

d_i = −5 cm

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f″ = 32744 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Dažnis prie automobilio

f′ = 30000·(343 + 15)/343 = 31312 Hz

Aido dažnis

f″ = f′·343/(343 − 15) = 32744 Hz

Atsakymas

f″ = 32744 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics