Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

108 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 6,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 108 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys A be pradinio greičio numetamas iš 15 m aukščio. Tuo pačiu metu kamuolys B tiesiai po juo nuo žemės išmetamas vertikaliai aukštyn 17 m/s greičiu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y virš žemės jie susitinka?

H = 15 mv_0B = 17 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

2 kg kūnas slysta žemyn nuokalne be trinties, pasvirusia 45° kampu į horizontą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 2 kgθ = 45°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

2 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 1 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 2 kgm₂ = 1 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 26 m/s greičiu ir turi nukristi 25 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažesnįjį iš dviejų galimų išmetimo kampų θ.

v₀ = 26 m/sR = 25 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 26 m/s greičiu 40° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 30 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite greitį v, kuriuo jis atsitrenkia į žemę.

v₀ = 26 m/sθ = 40°h = 30 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 1,9 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 60° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite vieno apsisukimo trukmę T.

L = 1,9 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 1,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

5 kg kūnas nuslysta 4 m nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,4. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 5 kgθ = 30°μ = 0,4d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kaladėlė iš rimties būsenos 20° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 20 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 4 m aukštyn šlaitu.

m = 2 kgF = 20 Nθ = 20°μ = 0,3d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

14 kg sviedinys, horizontaliai judantis 33 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 5 kg skeveldra toliau juda pirmyn 62 m/s greičiu. Raskite 9 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 14 kgu = 33 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 62 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,3 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 25 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 12 m/s greičiu. Sąlytis trunka 5 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,3 kgv_in = 25 m/sv_out = 12 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

2,6 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 30 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 14 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 7 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 2,6 kgk = 30 N/mA = 14 cmx = 7 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,6 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 310 N/m, atitraukiamas 10 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 1,6 kgk = 310 N/mA = 10 cm

E = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Šviesa sklinda terpėje „glicerolis“ (n = 1,47) link plokščios ribos su terpe „vanduo“ (n = 1,33). Raskite ribinį kampą θ_c, už kurio ji visiškai atsispindi.

n₁ = 1,47n₂ = 1,33

θ_c = °

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Difrakcinė gardelė turi 400 linijų milimetrui. Šviesa, kurios bangos ilgis 405 nm, krinta į ją statmenai. Kokia didžiausia matoma šviesaus maksimumo eilė m_max?

N = 400 mm⁻¹λ = 405 nm

m_max =

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 4,615 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/6,5 = 4,615 s

Atsakymas

t = 4,615 s

2.Kinematika

Atsakymas: y = 11,18 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Susitikimo laikas

Teigiama kryptis aukštyn, žemė – y = 0.

15 − ½g·t² = 17·t − ½g·t² → t = 15/17 = 0,8824 s

Susitikimo aukštis

y = 17·0,8824 − ½·9,81·0,8824² = 11,18 m

Atsakymas

y = 11,18 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 6,937 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0) = 6,937 m/s²

Atsakymas

a = 6,937 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 7,194 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9,81 − 1,962)/3 = 2,616 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·2,616 + 1,962 = 7,194 N

Atsakymas

T = 7,194 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: θ = 10,64 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Nuotolio formulė

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·25/26² = 0,3628

Kampas

2θ = 21,27° → θ = 10,64°

Atsakymas

θ = 10,64°

Kitas sprendinys yra 90° − θ = 79,36°.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v = 35,56 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 26·cos 40° = 19,92 m/s

v_y0 = 26·sin 40° = 16,71 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(16,71² + 2·9,81·30) = 29,46 m/s

Greitis atsitrenkiant

v = √(19,92² + 29,46²) = 35,56 m/s

Atsakymas

v = 35,56 m/s

Patikrinkite energija: v² = v₀² + 2gh.

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 1,955 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 1,9·sin 60° = 1,645 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,645·9,81·tan 60°) = 5,288 m/s

Periodas

T = 2π·r/v = 2π·1,645/5,288 = 1,955 s

Atsakymas

T = 1,955 s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 3,836 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,5) = 3,836 m/s

Atsakymas

v_min = 3,836 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 67,97 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 49,05·0,866 = 42,48 N

F = μN = 0,4·42,48 = 16,99 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 16,99·4 = 67,97 J

Atsakymas

W_f = 67,97 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 5,571 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 6,71 N

μ·mg·cos θ = 5,531 N

Darbas ir energija

½mv² = (20 − 12,24)·4 = 31,03 J

v = √(2·31,03/2) = 5,571 m/s

Atsakymas

v = 5,571 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 16,89 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 14·33 = 462 kg·m/s

Judesio kiekis po

462 = 5·62 + 9·v′₂

v′₂ = (462 − 310)/9 = 16,89 m/s

Atsakymas

v′₂ = 16,89 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 2220 N

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,3·(12 + 25) = 11,1 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 11,1/0,005 = 2220 N

Atsakymas

F_avg = 2220 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,4118 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(30/2,6) = 3,397 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 3,397·√(0,14² − 0,07²) = 0,4118 m/s

Atsakymas

v = 0,4118 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 1,55 J

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(310/1,6) = 13,92 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·310·0,1² = 1,55 J

Atsakymas

E = 1,55 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: θ_c = 64,79 °

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Lūžis 90° kampu

sin θc = n₂/n₁ = 1,33/1,47 = 0,9048

Ribinis kampas

θc = arcsin(0,9048) = 64,79°

Atsakymas

θ_c = 64,79°

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: m_max = 6

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/400 mm = 2,5 µm

Didžiausia eilė

m ≤ d/λ = 2,5 µm/0,405 µm = 6,173 → m_max = 6

Atsakymas

m_max = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics