Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvas pajuda iš vietos ir pakilimo taku tolygiai greitėja 2,25 m/s² pagreičiu. Raskite jo greitį v nuriedėjus 800 m.

v₀ = 0a = 2,25 m/s²s = 800 m

v = m/s

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 8 s greitėja 2 m/s² pagreičiu, tada 26 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 3,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą kelionės trukmę t.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 8 st₂ = 26 sa₃ = −3,5 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

45 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 15° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 45 kgθ = 15°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 30° rampa 11 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 11 m/sθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 28 m/s greičiu ir turi nukristi 45 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažesnįjį iš dviejų galimų išmetimo kampų θ.

v₀ = 28 m/sR = 45 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 32 m/s greičiu 60° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 30 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 32 m/sθ = 60°h = 30 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 2,5 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią kampinį greitį ω rad/s.

r = 2,5 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 1,4 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 1,4 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

800 kg automobilis važiuoja į 5° šlaitą pastoviu 54 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 750 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 800 kgθ = 5°F_r = 750 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

35° šlaito apačioje esanti 800 N/m standumo spyruoklė suspaudžiama 20 cm prie 3 kg kaladėlės ir atleidžiama. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir šlaito koeficientas 0,2. Kokį atstumą d aukštyn šlaitu nuo paleidimo taško kaladėlė nuslenka, kol sustoja? (Nepaisykite trumpo atstumo, kuriame stumia spyruoklė, t. y. trintį ir sunkio jėgą imkite visame atstume d.)

m = 3 kgk = 800 N/mx = 20 cmθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

4,5 kg vežimėlis, judantis 3 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 3 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,45 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 16 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 12 m/s greičiu. Sąlytis trunka 25 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,45 kgv_in = 16 m/sv_out = 12 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

0,5 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 360 N/m, atitraukiamas 8 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo poslinkį x nuo pusiausvyros padėties momentu t = 1,15 s (su ženklu).

m = 0,5 kgk = 360 N/mA = 8 cmt = 1,15 s

x = cm

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Kūnas atlieka harmoninius svyravimus, kurių periodas 4 s, o amplitudė 19 cm. Per kokį trumpiausią laiką t jis nuo pusiausvyros padėties pasislenka iki 9,5 cm poslinkio?

T = 4 sA = 19 cmx = 9,5 cm

t = s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Daiktas yra 60 cm atstumu prieš ploną lęšį (glaudžiamasis), kurio židinio nuotolis 8 cm. Raskite didinimą m (neigiamas apverstam vaizdui).

d_o = 60 cmf = 8 cm

m =

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

650 nm bangos ilgio šviesa krinta į du plyšius, nutolusius 0,15 mm. Ekranas yra 1,2 m atstumu. Raskite atstumą y₄ nuo centrinio šviesaus ruožo iki šviesaus ruožo, kurio numeris 4.

λ = 650 nmd = 0,15 mmL = 1,2 mm = 4

y₄ = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: v = 60 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Greitis nuvažiavus atstumą

v = √(2·a·s) = √(2·2,25·800) = 60 m/s

Atsakymas

v = 60 m/s

(216 km/h)

2.Kinematika

Atsakymas: t = 38,57 s

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 2·8 = 16 m/s

Stabdymo trukmė

t₃ = v/a₃ = 16/3,5 = 4,571 s

Bendra trukmė

t = 8 + 26 + 4,571 = 38,57 s

Atsakymas

t = 38,57 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 242,2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 114,3 + 127,9 = 242,2 N

Atsakymas

F = 242,2 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 10,51 m

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 30° + 0,1·cos 30°) = 5,755 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 11²/(2·5,755) = 10,51 m

Atsakymas

d = 10,51 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: θ = 17,13 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Nuotolio formulė

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·45/28² = 0,5631

Kampas

2θ = 34,27° → θ = 17,13°

Atsakymas

θ = 17,13°

Kitas sprendinys yra 90° − θ = 72,87°.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 69,14 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 32·sin 60° = 27,71 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 27,71²/(2·9,81) = 39,14 m

Aukštis virš žemės

H = 30 + 39,14 = 69,14 m

Atsakymas

H = 69,14 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: ω = 3,617 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,3·2,5)) = 3,617 rad/s

Atsakymas

ω = 3,617 rad/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 3,706 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,4) = 3,706 m/s

Atsakymas

v_min = 3,706 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 21,51 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 800·9,81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 5° = 684 N

F = 684 + 750 = 1434 N

Galia

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 1434·15 = 21510 W = 21,51 kW

Atsakymas

P = 21,51 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 0,7373 m

Spyruoklės energija

x = 20 cm = 0,2 m

½kx² = ½·800·0,2² = 16 J

Energijos balansas nuokalne

m·g = 3·9,81 = 29,43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 16/(29,43·(0,5736 + 0,2·0,8192)) = 0,7373 m

Atsakymas

d = 0,7373 m

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 3,6 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (4,5 − 3)/(4,5 + 3)·3 = 0,6 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 3)·3 = 3,6 m/s

Atsakymas

v′₂ = 3,6 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 504 N

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,45·(12 + 16) = 12,6 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 12,6/0,025 = 504 N

Atsakymas

F_avg = 504 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x = 6,786 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(360/0,5) = 26,83 rad/s

ω·t = 26,83·1,15 = 30,86 rad

Poslinkis

x = A·cos(ω·t) = 8·cos(30,86) = 6,786 cm

Atsakymas

x = 6,786 cm

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: t = 0,3333 s

Kampinis dažnis

ω = 2π/T = 2π/4 = 1,571 rad/s

Išreiškite laiką

0,5 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,5) = 0,5236 rad

t = 0,5236/1,571 = 0,3333 s

Atsakymas

t = 0,3333 s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: m = −0,1538

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Plonojo lęšio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/60

d_i = 9,231 cm

Didinimas

m = −d_i/d_o = −9,231/60 = −0,1538

Atsakymas

m = −0,1538

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: y₄ = 20,8 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Ruožų tarpas

Δy = λL/d = 650 × 10⁻⁹·1,2/(0,15 × 10⁻³) = 5,2 mm

Ruožo numeris 4

y₄ = 4·5,2 = 20,8 mm

Atsakymas

y₄ = 20,8 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics