Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

54 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 54 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 10 m/s greičiu nuo stogo, esančio 35 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 10 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

5,5 kg ir 1 kg kroviniai kabo abipus lengvo skridinio be trinties, sujungti lengvu siūlu. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 1 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

8 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 3 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 35° kampu virš horizontalės ir nukrinta 125 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 35°R = 125 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 60° kampu į horizontą nuo 30 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 18 m/sθ = 60°h = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 3 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią sukimosi dažnį n apsisukimais per minutę.

r = 3 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,7 kg rutuliukas ant lengvo 1,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 10,5 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 1,7 kgr = 1,5 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

5 kg kūnas nuslysta 12 m nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,25. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 5 kgθ = 45°μ = 0,25d = 12 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

0,5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 3 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 5 m ilgio juostą (μ = 0,2) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 800 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 0,5 kgh = 3 mL = 5 mμ = 0,2k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1300 kg automobilis, judantis 9 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 1000 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek kinetinės energijos ΔK prarandama susidūrimo metu?

m₁ = 1300 kgv₁ = 9 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

800 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1500 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 4,5 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,7. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 800 kgm₂ = 1500 kgd = 4,5 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1,1 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 1,1 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 100 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 7 cm amplitude. Raskite spyruoklėje sukauptą energiją U, kai krovinys yra 1 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 100 N/mA = 7 cmx = 1 cm

U = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Viename gale uždarytas vamzdis yra 0,8 m ilgio. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite jo 5-osios harmonikos dažnį f₅.

v = 343 m/sn = 5L = 0,8 m

f₅ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

500 nm bangos ilgio šviesa krinta į du plyšius, nutolusius 0,5 mm. Ekranas yra 3 m atstumu. Raskite tarpą Δy tarp gretimų šviesių ruožų.

λ = 500 nmd = 0,5 mmL = 3 m

Δy = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 3 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/5 = 3 s

Atsakymas

t = 3 s

2.Kinematika

Atsakymas: t = 3,879 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−35 = 10·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 10·t − 35 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (10 + √(10² + 2·9,81·35))/9,81 = 3,879 s

Atsakymas

t = 3,879 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 16,6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Pagreitis

Varomoji atstojamoji jėga yra svorių skirtumas; ji judina visą masę.

a = (5,5 − 1)·9,81/(5,5 + 1) = 6,792 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš lengvesnio krovinio

T − m₂·g = m₂·a → T = 1·(9,81 + 6,792) = 16,6 N

Atsakymas

T = 16,6 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 25,68 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 15,7)/11 = 1,249 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8·1,249 + 15,7 = 25,68 N

Atsakymas

T = 25,68 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 36,12 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·125/sin 70°) = 36,12 m/s

Atsakymas

v₀ = 36,12 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 4,529 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 60° = 9 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 60° = 15,59 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 30 + 15,59·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15,59 + √(243 + 588,6))/9,81 = 4,529 s

Atsakymas

t = 4,529 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: n = 19,31 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,8·3)) = 2,022 rad/s

Sukimosi dažnis

n = ω·60/(2π) = 19,31 rpm

Atsakymas

n = 19,31 rpm

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 41,56 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·1,5 = 51,39 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,7·51,39/1,5 − 1,7·9,81 = 41,56 N

Atsakymas

T_top = 41,56 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 104,1 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 49,05·0,7071 = 34,68 N

F = μN = 0,25·34,68 = 8,671 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 8,671·12 = 104,1 J

Atsakymas

W_f = 104,1 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 15,66 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 4,905·(3 − 0,2·5) = 9,81 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 9,81 → x = √(2·9,81/800) = 0,1566 m = 15,66 cm

Atsakymas

x = 15,66 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK = 22891 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·9/2300 = 5,087 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·1300·9² = 52650 J

K_after = ½·2300·5,087² = 29759 J

Prarasta energija

ΔK = 52650 − 29759 = 22891 J

Atsakymas

ΔK = 22891 J

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 22,6 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·4,5) = 7,861 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2300·7,861/800 = 22,6 m/s

Atsakymas

v₁ = 22,6 m/s

(81,37 km/h)

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,3007 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,1/2π)² = 0,3007 m

Atsakymas

L = 0,3007 m

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: U = 0,005 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·100·0,07² = 0,245 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·100·0,01² = 0,005 J

Atsakymas

U = 0,005 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f₅ = 535,9 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Šios modos bangos ilgis

λ = 4L/n = 4·0,8/5 = 0,64 m

Dažnis

f = v/λ = 343/0,64 = 535,9 Hz

Atsakymas

f₅ = 535,9 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: Δy = 3 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Ruožų tarpas

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·3/(0,5 × 10⁻³) = 3 mm

Atsakymas

Δy = 3 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics