Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 23 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 5 m/s² pagreičiu. Per kiek laiko policijos automobilis pasiveja? Raskite t.

v_car = 23 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 5 s greitėja 1 m/s² pagreičiu, tada 13 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 3 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 5 st₂ = 13 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

11 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 11 kgθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

7 kg kaladėlė ant 25° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 8,5 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Rampa be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 7 kgm₂ = 8,5 kgθ = 25°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 26 m/s greičiu ir turi nukristi 35 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažesnįjį iš dviejų galimų išmetimo kampų θ.

v₀ = 26 m/sR = 35 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 36 m/s greičiu 70° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 29 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 36 m/sθ = 70°h_roof = 29 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 1,9 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią kampinį greitį ω rad/s.

r = 1,9 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

5 kg vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas 20,4 m aukštyje ant bėgio be trinties ir pervažiuoja vertikalią 6 m spindulio kilpą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą N_top, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 5 kgh = 20,4 mR = 6 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

10 kg kūnas nuslysta 19 m nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,35. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 10 kgθ = 45°μ = 0,35d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

40° šlaito apačioje esanti 500 N/m standumo spyruoklė suspaudžiama 20 cm prie 3 kg kaladėlės ir atleidžiama. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir šlaito koeficientas 0,2. Kokį atstumą d aukštyn šlaitu nuo paleidimo taško kaladėlė nuslenka, kol sustoja? (Nepaisykite trumpo atstumo, kuriame stumia spyruoklė, t. y. trintį ir sunkio jėgą imkite visame atstume d.)

m = 3 kgk = 500 N/mx = 20 cmθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

20 g kulka horizontaliai įšaunama į 1 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 11 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 20 gM = 1 kgh = 11 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 12 m/s greičiu važiuojantis 1600 kg automobilis susiduria su į šiaurę 21 m/s greičiu važiuojančiu 1800 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų greitį v′ iškart po susidūrimo.

m₁ = 1600 kgv₁ = 12 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 21 m/s (N)

v′ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

0,5 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 310 N/m, atitraukiamas 12 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo poslinkį x nuo pusiausvyros padėties momentu t = 0,75 s (su ženklu).

m = 0,5 kgk = 310 N/mA = 12 cmt = 0,75 s

x = cm

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

0,6 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 40 N/m, atitraukiamas 12 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 0,6 kgk = 40 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose atviras vamzdis turi turėti, kad jo 2-osios harmonikos dažnis būtų 858 Hz. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite vamzdžio ilgį L.

v = 343 m/sn = 2f₂ = 858 Hz

L = m

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Du ploni lęšiai turi bendrą ašį ir yra nutolę 10 cm: 1 lęšis, kurio f₁ = 12 cm, ir 2 lęšis, kurio f₂ = 8 cm. Daiktas yra 20 cm atstumu prieš 1 lęšį. Raskite galutinio vaizdo padėtį d_i2, matuojamą nuo 2 lęšio (teigiama už 2 lęšio, tikrasis vaizdas teigiamas).

f₁ = 12 cmf₂ = 8 cms = 10 cmd_o = 20 cm

d_i2 = cm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 9,2 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·23/5 = 9,2 s

Atsakymas

t = 9,2 s

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 46 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: s = 81,67 m

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 1·5 = 5 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·1·5² = 12,5 m

s₂ = 5·13 = 65 m

s₃ = 5²/(2·3) = 4,167 m

Visas atstumas

s = 12,5 + 65 + 4,167 = 81,67 m

Atsakymas

s = 81,67 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,618 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 35° − 0,25·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,2048) = 3,618 m/s²

Atsakymas

a = 3,618 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,507 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 83,39 N

m₁·g·sin θ = 29,02 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Sistemos pagreitis

a = (83,39 − 29,02 − 0)/15,5 = 3,507 m/s²

Atsakymas

a = 3,507 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: θ = 15,26 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Nuotolio formulė

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·35/26² = 0,5079

Kampas

2θ = 30,52° → θ = 15,26°

Atsakymas

θ = 15,26°

Kitas sprendinys yra 90° − θ = 74,74°.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 72,57 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 12,31 m/s, v_y = 33,83 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

29 = 33,83·t − 4,905·t²

t = (33,83 + √(33,83² − 2·9,81·29))/9,81 = 5,894 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 12,31·5,894 = 72,57 m

Atsakymas

x = 72,57 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: ω = 4,149 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,3·1,9)) = 4,149 rad/s

Atsakymas

ω = 4,149 rad/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: N_top = 88,29 N

Greitis iš energijos tvermės

v² = 2·9,81·(20,4 − 2·6) = 164,8 m²/s²

Jėgos

Teigiama kryptis į centrą.

N = m·v²/R − m·g = 5·164,8/6 − 49,05 = 88,29 N

Atsakymas

N_top = 88,29 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 461,3 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 98,1·0,7071 = 69,37 N

F = μN = 0,35·69,37 = 24,28 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 24,28·19 = 461,3 J

Atsakymas

W_f = 461,3 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 0,4269 m

Spyruoklės energija

x = 20 cm = 0,2 m

½kx² = ½·500·0,2² = 10 J

Energijos balansas nuokalne

m·g = 3·9,81 = 29,43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 10/(29,43·(0,6428 + 0,2·0,766)) = 0,4269 m

Atsakymas

d = 0,4269 m

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 74,92 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,11) = 1,469 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 1)·1,469/0,02 = 74,92 m/s

Atsakymas

v = 74,92 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′ = 12,47 m/s

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 1600·12 = 19200 kg·m/s

p_y = 1800·21 = 37800 kg·m/s

Nuolaužų greitis

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 42397/3400 = 12,47 m/s

Atsakymas

v′ = 12,47 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x = 11,82 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(310/0,5) = 24,9 rad/s

ω·t = 24,9·0,75 = 18,67 rad

Poslinkis

x = A·cos(ω·t) = 12·cos(18,67) = 11,82 cm

Atsakymas

x = 11,82 cm

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 8 m/s²

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(40/0,6) = 8,165 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,12·8,165² = 8 m/s²

Atsakymas

a_max = 8 m/s²

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: L = 0,3998 m

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Bangos ilgis

λ = v/f = 343/858 = 0,3998 m

Ilgis

L = nλ/2 = 2·0,3998/2 = 0,3998 m

Atsakymas

L = 0,3998 m

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i2 = 5,714 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

1 lęšio vaizdas

1/d_i1 = 1/12 − 1/20 → d_i1 = 30 cm

2 lęšio daiktas

d_o2 = 10 − 30 = −20 cm

Galutinis vaizdas

1/d_i2 = 1/8 − 1/(−20) → d_i2 = 5,714 cm

Atsakymas

d_i2 = 5,714 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics