Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

60 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 5,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 60 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Akmuo be pradinio greičio numetamas į šulinį. Pliūpsnis išgirstamas praėjus 3,5 s nuo akmens paleidimo. Garso greitis 343 m/s; nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite šulinio gylį d.

t_total = 3,5 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

15 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 40° kampą virš horizontalės, 100 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 15 kgF = 100 Nθ = 40°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

8 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 5 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 8 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 20° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 30 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 28 m/s greičiu 50° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 10 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 28 m/sθ = 50°h_roof = 10 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja per kelio kauburio viršūnę, kuri yra 30 m spindulio apskritimo lankas. Imkite g = 9,81 m/s². Viršijus kokį greitį v_max ratai viršūnėje atitrūksta nuo kelio?

r = 30 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

240 m spindulio posūkis turi 12° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 240 mθ = 12°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 800 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,05 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 10 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,05 kgk = 800 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

2,5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 4,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3 m ilgio juostą (μ = 0,2) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 2500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 2,5 kgh = 4,5 mL = 3 mμ = 0,2k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

3,5 kg vežimėlis, judantis 10 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 0,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1600 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1800 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 8,5 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1600 kgm₂ = 1800 kgd = 8,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 2,7 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 2,7 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,2 kg krovinys pritvirtinamas prie neištemptos vertikalios spyruoklės, kurios k = 140 N/m, apatinio galo ir paleidžiamas be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią krovinio greitį v_max.

m = 1,2 kgk = 140 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

600 Hz dažnio šaltinis, judantis 34 m/s greičiu, ir stebėtojas, judantis 15 m/s greičiu, tolsta vienas nuo kito. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 600 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Difrakcinė gardelė turi 400 linijų milimetrui. Šviesa, kurios bangos ilgis 450 nm, krinta į ją statmenai. Kokia didžiausia matoma šviesaus maksimumo eilė m_max?

N = 400 mm⁻¹λ = 450 nm

m_max =

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 25,25 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·5,5) = 25,25 m

Atsakymas

s = 25,25 m

2.Kinematika

Atsakymas: d = 54,73 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Dvi laiko dalys

½·9,81·t₁² = 343·(3,5 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1201 = 0

Kritimo trukmė

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1201))/(2·4,905) = 3,34 s

Gylis

d = ½·9,81·3,34² = 54,73 m

Atsakymas

d = 54,73 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,897 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 100·sin 40° = 82,87 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 76,6 − 33,15

a = 43,46/15 = 2,897 m/s²

Atsakymas

a = 2,897 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,773 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 0)/13 = 3,773 m/s²

Atsakymas

a = 3,773 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 5,366 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 20° = 28,19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 20° = 10,26 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 10,26²/(2·9,81) = 5,366 m

Atsakymas

H = 5,366 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 69,15 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 18 m/s, v_y = 21,45 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

10 = 21,45·t − 4,905·t²

t = (21,45 + √(21,45² − 2·9,81·10))/9,81 = 3,842 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 18·3,842 = 69,15 m

Atsakymas

x = 69,15 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 17,16 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Normalinė jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·30) = 17,16 m/s

Atsakymas

v_max = 17,16 m/s

(61,76 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 39,7 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(240·9,81·0,5992/0,895) = 39,7 m/s

Atsakymas

v_max = 39,7 m/s

(142,9 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 8,155 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·800·0,1² = 4 J

Aukštis

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 4/0,4905 = 8,155 m

Atsakymas

h = 8,155 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 27,66 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 24,53·(4,5 − 0,2·3) = 95,65 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 95,65 → x = √(2·95,65/2500) = 0,2766 m = 27,66 cm

Atsakymas

x = 27,66 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 17,5 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (3,5 − 0,5)/(3,5 + 0,5)·10 = 7,5 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 0,5)·10 = 17,5 m/s

Atsakymas

v′₂ = 17,5 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 24,54 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·8,5) = 11,55 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3400·11,55/1600 = 24,54 m/s

Atsakymas

v₁ = 24,54 m/s

(88,36 km/h)

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 1,811 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,7/2π)² = 1,811 m

Atsakymas

L = 1,811 m

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,9082 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Pusiausvyra ir amplitudė

x₀ = m·g/k = 1,2·9,81/140 = 0,08409 m = A

Didžiausias greitis

Greitis didžiausias pusiausvyros padėtyje.

ω = √(140/1,2) = 10,8 rad/s

v_max = A·ω = 0,08409·10,8 = 0,9082 m/s

Atsakymas

v_max = 0,9082 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 522 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 15)/(343 + 34)

f′ = 522 Hz

Atsakymas

f′ = 522 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: m_max = 5

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/400 mm = 2,5 µm

Didžiausia eilė

m ≤ d/λ = 2,5 µm/0,45 µm = 5,556 → m_max = 5

Atsakymas

m_max = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics