Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

54 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 0,5 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 7,5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 54 km/ht_r = 0,5 sa = −7,5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 16 m/s greičiu nuo stogo, esančio 35 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 16 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

2 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 2 kgθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 75 N jėga traukia priekinę 6 kg kaladėlę; 7 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jungiamojo siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 7 kgm₂ = 6 kgF = 75 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 40 m/s greičiu ir turi nukristi 90 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažesnįjį iš dviejų galimų išmetimo kampų θ.

v₀ = 40 m/sR = 90 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 29 m/s greičiu 55° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 45 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 29 m/sθ = 55°h = 45 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 3 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią kampinį greitį ω rad/s.

r = 3 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,6 kg rutuliukas ant 0,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 4 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1,6 kgr = 0,5 mv = 4 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,5 kg rutuliukas kabo ant lengvo 1 m ilgio siūlo. Jis atitraukiamas, kol siūlas su vertikale sudaro 40° kampą, ir paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite siūlo įtempimo jėgą T, kai rutuliukas eina pro žemiausią tašką.

m = 0,5 kgL = 1 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Darbas ir energijaSunkus

1 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 8,4 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 3 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 1 kgh = 8,4 mR = 3 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

700 kg automobilis, judantis 7 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 600 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek kinetinės energijos ΔK prarandama susidūrimo metu?

m₁ = 700 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 19 m/s greičiu važiuojantis 2000 kg automobilis susiduria su į šiaurę 19 m/s greičiu važiuojančiu 900 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų judėjimo kryptį θ iškart po susidūrimo, matuojant nuo rytų krypties į šiaurę.

m₁ = 2000 kgv₁ = 19 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 19 m/s (N)

θ = °

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

1,6 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 70 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 9 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 2 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 1,6 kgk = 70 N/mA = 9 cmx = 2 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,3 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 220 N/m, atitraukiamas 17 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 2,3 kgk = 220 N/mA = 17 cm

E = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose atviras vamzdis yra 0,65 m ilgio. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite jo 5-osios harmonikos dažnį f₅.

v = 343 m/sn = 5L = 0,65 m

f₅ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Gardelė su 100 linijų milimetrui rodo spektro linijos 1 eilės maksimumą 3,4° kampu nuo tiesios krypties. Raskite linijos bangos ilgį λ.

N = 100 mm⁻¹θ₁ = 3,4°m = 1

λ = nm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 22,5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 15·0,5 = 7,5 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·7,5) = 15 m

Iš viso

d = 7,5 + 15 = 22,5 m

Atsakymas

d = 22,5 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 4,761 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−35 = 16·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 16·t − 35 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (16 + √(16² + 2·9,81·35))/9,81 = 4,761 s

Atsakymas

t = 4,761 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,02 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 35° − 0,2·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,1638) = 4,02 m/s²

Atsakymas

a = 4,02 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 40,38 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Visa sistema

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (75 − 31,88)/13 = 3,317 m/s²

Vien galinė kaladėlė

T = m₁·(a + μ·g) = 7·(3,317 + 2,453) = 40,38 N

Atsakymas

T = 40,38 N

Kai abiejų kaladėlių μ vienodas, trintis išnyksta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: θ = 16,75 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Nuotolio formulė

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·90/40² = 0,5518

Kampas

2θ = 33,49° → θ = 16,75°

Atsakymas

θ = 16,75°

Kitas sprendinys yra 90° − θ = 73,25°.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 73,76 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 29·sin 55° = 23,76 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 23,76²/(2·9,81) = 28,76 m

Aukštis virš žemės

H = 45 + 28,76 = 73,76 m

Atsakymas

H = 73,76 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: ω = 2,022 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,8·3)) = 2,022 rad/s

Atsakymas

ω = 2,022 rad/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 66,9 N

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,6·9,81 + 1,6·4²/0,5 = 15,7 + 51,2 = 66,9 N

Atsakymas

T = 66,9 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: T = 7,2 N

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Judant apskritimu, į centrą nukreipta atstojamoji jėga turi būti lygi mv²/r.

Greitis apačioje

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·1·(1 − cos 40°) = 4,59 m²/s²

Jėgos apačioje

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·4,59/1 = 7,2 N

Atsakymas

T = 7,2 N

Patikra: T = mg(3 − 2cos θ) = 7,2 N.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: N = 5,886 N

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(8,4 − 6) = 47,09 m²/s²

Jėgos viršuje

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

N = mv²/R − mg = 1·47,09/3 − 9,81 = 5,886 N

Atsakymas

N = 5,886 N

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK = 7915 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·7/1300 = 3,769 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·700·7² = 17150 J

K_after = ½·1300·3,769² = 9235 J

Prarasta energija

ΔK = 17150 − 9235 = 7915 J

Atsakymas

ΔK = 7915 J

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: θ = 24,23 °

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 2000·19 = 38000 kg·m/s

p_y = 900·19 = 17100 kg·m/s

Kryptis

tan θ = p_y/p_x = 0,45 → θ = 24,23°

Atsakymas

θ = 24,23°

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,5804 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(70/1,6) = 6,614 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 6,614·√(0,09² − 0,02²) = 0,5804 m/s

Atsakymas

v = 0,5804 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 3,179 J

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(220/2,3) = 9,78 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·220·0,17² = 3,179 J

Atsakymas

E = 3,179 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f₅ = 1319 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Šios modos bangos ilgis

λ = 2L/n = 2·0,65/5 = 0,26 m

Dažnis

f = v/λ = 343/0,26 = 1319 Hz

Atsakymas

f₅ = 1319 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: λ = 593,1 nm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Bangos ilgis

λ = d·sin θ/m = 1 × 10⁻⁵·sin 3,4°/1 = 593,1 nm

Atsakymas

λ = 593,1 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics