Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 32 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 3,5 m/s² pagreičiu. Kokiu atstumu nuo savo pradinio taško policijos automobilis pasiveja? Raskite d.

v_car = 32 m/sa_police = 3,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.KinematikaSunkus

Raketos modelis paleidžiamas vertikaliai aukštyn iš rimties būsenos. Variklis 3 s suteikia jai pastovų 24 m/s² pagreitį aukštyn, po to variklis išsijungia ir raketa juda laisvai. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo paleidimo ji atsitrenkia į žemę? Raskite t.

a = 24 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

5 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 20° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 5 kgθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

3,5 kg kaladėlė ant 40° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 4,5 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 4,5 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 25° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 16 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 37 m/s greičiu 50° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 4 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 37 m/sθ = 50°h_roof = 4 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 100 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,7. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 100 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 0,8 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 0,8 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

4 kg kūnas nuslysta 13 m nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,35. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 4 kgθ = 35°μ = 0,35d = 13 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 2 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 4 m ilgio juostą (μ = 0,2) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 800 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 2 kgh = 2 mL = 4 mμ = 0,2k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

20 g kulka horizontaliai įšaunama į 1,5 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 12 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 20 gM = 1,5 kgh = 12 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,55 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 14 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 4 m/s greičiu. Sąlytis trunka 25 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,55 kgv_in = 14 m/sv_out = 4 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1,7 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 1,7 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

0,4 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 310 N/m, atitraukiamas 8 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 0,4 kgk = 310 N/mA = 8 cm

E = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Viename gale uždarytas vamzdis turi turėti, kad jo 3-osios harmonikos dažnis būtų 214 Hz. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite vamzdžio ilgį L.

v = 343 m/sn = 3f₃ = 214 Hz

L = m

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

600 nm bangos ilgio šviesa statmenai krinta į gardelę, turinčią 100 linijų milimetrui. Raskite 3 eilės maksimumo kampą θ₃.

N = 100 mm⁻¹λ = 600 nmm = 3

θ₃ = °

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 585,1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·32/3,5 = 18,29 s

Kelias

d = v·t = 32·18,29 = 585,1 m

Atsakymas

d = 585,1 m

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 64 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: t = 19,05 s

Varomoji fazė

v₁ = 24·3 = 72 m/s

h₁ = ½·24·3² = 108 m

Laisvasis skrydis iki žemės

Lygtį −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² spręskite ir imkite teigiamą šaknį.

t₂ = (72 + √(72² + 2·9,81·108))/9,81 = 16,05 s

t = 3 + 16,05 = 19,05 s

Atsakymas

t = 19,05 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 25,99 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 16,78 + 9,218 = 25,99 N

Atsakymas

F = 25,99 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 34,69 N

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 44,15 N

m₁·g·sin θ = 22,07 N

μ·m₁·g·cos θ = 5,26 N

Sistemos pagreitis

a = (44,15 − 22,07 − 5,26)/8 = 2,102 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš kabančio krovinio

m₂·g − T = m₂·a → T = 4,5·(9,81 − 2,102) = 34,69 N

Atsakymas

T = 34,69 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 2,33 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 25° = 14,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 25° = 6,762 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 6,762²/(2·9,81) = 2,33 m

Atsakymas

H = 2,33 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 134 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 23,78 m/s, v_y = 28,34 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

4 = 28,34·t − 4,905·t²

t = (28,34 + √(28,34² − 2·9,81·4))/9,81 = 5,634 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 23,78·5,634 = 134 m

Atsakymas

x = 134 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 26,2 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·100) = 26,2 m/s

Atsakymas

v_max = 26,2 m/s (94,34 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 2,801 m/s

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,8) = 2,801 m/s

Atsakymas

v_min = 2,801 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 146,3 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 39,24·0,8192 = 32,14 N

F = μN = 0,35·32,14 = 11,25 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 11,25·13 = 146,3 J

Atsakymas

W_f = 146,3 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,852 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 19,62·(2 − 0,2·4) = 23,54 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,2) = 4,852 m/s

Atsakymas

v = 4,852 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 116,6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,12) = 1,534 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 1,5)·1,534/0,02 = 116,6 m/s

Atsakymas

v = 116,6 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 396 N

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,55·(4 + 14) = 9,9 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 9,9/0,025 = 396 N

Atsakymas

F_avg = 396 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,7181 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,7/2π)² = 0,7181 m

Atsakymas

L = 0,7181 m

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 0,992 J

Kampinis dažnis

ω = √(310/0,4) = 27,84 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·310·0,08² = 0,992 J

Atsakymas

E = 0,992 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: L = 1,202 m

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Bangos ilgis

λ = v/f = 343/214 = 1,603 m

Ilgis

L = nλ/4 = 3·1,603/4 = 1,202 m

Atsakymas

L = 1,202 m

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: θ₃ = 10,37 °

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

Gardelės lygtis

sin θ = mλ/d = 3·600 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0,18

θ = 10,37°

Atsakymas

θ₃ = 10,37°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics