Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvui pakilti reikia 260 km/h greičio, o naudojamo pakilimo tako ilgis 1000 m. Kokio pastovaus pagreičio a jam reikia, pradedant iš vietos?

v₀ = 0v = 260 km/hs = 1000 m

a = m/s²

2.KinematikaSunkus

Kamuolys A be pradinio greičio numetamas iš 20 m aukščio. Tuo pačiu metu kamuolys B tiesiai po juo nuo žemės išmetamas vertikaliai aukštyn 28 m/s greičiu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y virš žemės jie susitinka?

H = 20 mv_0B = 28 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

40 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 15° kampą virš horizontalės, 180 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 40 kgF = 180 Nθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

1,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 4 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 70° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 26 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 15 m/s greičiu 15° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 25 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite greitį v, kuriuo jis atsitrenkia į žemę.

v₀ = 15 m/sθ = 15°h = 25 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

1100 kg automobilis 12 m/s greičiu važiuoja per kelio kauburio viršūnę. Kauburio viršūnė yra 85 m spindulio apskritimo lankas. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą N, kuria kelias viršūnėje veikia automobilį.

m = 1100 kgv = 12 m/sr = 85 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,6 kg rutuliukas ant lengvo 1,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 9,5 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 0,6 kgr = 1,5 mv_bottom = 9,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,3. Raskite jo greitį v, nuslydus 11 m nuokalne.

θ = 25°μ = 0,3d = 11 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

2,5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 3 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 4,5 m ilgio juostą (μ = 0,15) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 2500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 2,5 kgh = 3 mL = 4,5 mμ = 0,15k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

5 kg vežimėlis, judantis 5 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 2,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,25 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 20 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 15 m/s greičiu. Sąlytis trunka 50 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,25 kgv_in = 20 m/sv_out = 15 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1,4 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 1,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,9 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 230 N/m, atitraukiamas 20 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 2,9 kgk = 230 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

500 Hz dažnio šaltinis, judantis 10 m/s greičiu, ir stebėtojas, judantis 15 m/s greičiu, tolsta vienas nuo kito. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 500 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Difrakcinė gardelė turi 1200 linijų milimetrui. Šviesa, kurios bangos ilgis 656 nm, krinta į ją statmenai. Kokia didžiausia matoma šviesaus maksimumo eilė m_max?

N = 1200 mm⁻¹λ = 656 nm

m_max =

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: a = 2,608 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v = 260/3,6 = 72,22 m/s

Pagreitis

a = v²/(2s) = 72,22²/(2·1000) = 2,608 m/s²

Atsakymas

a = 2,608 m/s²

2.Kinematika

Atsakymas: y = 17,5 m

Susitikimo laikas

Teigiama kryptis aukštyn, žemė – y = 0.

20 − ½g·t² = 28·t − ½g·t² → t = 20/28 = 0,7143 s

Susitikimo aukštis

y = 28·0,7143 − ½·9,81·0,7143² = 17,5 m

Atsakymas

y = 17,5 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,618 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 392,4 − 180·sin 15° = 345,8 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 173,9 − 69,16

a = 104,7/40 = 2,618 m/s²

Atsakymas

a = 2,618 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 11,77 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 1,472)/5,5 = 6,867 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1,5·6,867 + 1,472 = 11,77 N

Atsakymas

T = 11,77 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 4,981 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 70° = 8,893 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 70° = 24,43 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·24,43/9,81 = 4,981 s

Atsakymas

t = 4,981 s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v = 26,75 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 15·cos 15° = 14,49 m/s

v_y0 = 15·sin 15° = 3,882 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(3,882² + 2·9,81·25) = 22,48 m/s

Greitis atsitrenkiant

v = √(14,49² + 22,48²) = 26,75 m/s

Atsakymas

v = 26,75 m/s

Patikrinkite energija: v² = v₀² + 2gh.

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: N = 8927 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgos viršuje

Teigiama kryptis į centrą (žemyn).

m·g − N = m·v²/r

N = 1100·9,81 − 1100·12²/85 = 10791 − 1864 = 8927 N

Atsakymas

N = 8927 N

Automobilis tampa lengvesnis: kelias stumia aukštyn mažesne jėga nei jo svoris.

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 6,67 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 9,5² − 4·9,81·1,5 = 31,39 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,6·31,39/1,5 − 0,6·9,81 = 6,67 N

Atsakymas

T_top = 6,67 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 5,703 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·11·(0,4226 − 0,3·0,9063)) = 5,703 m/s

Atsakymas

v = 5,703 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 6,754 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 24,53·(3 − 0,15·4,5) = 57,02 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,325) = 6,754 m/s

Atsakymas

v = 6,754 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 1,667 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (5 − 2,5)/(5 + 2,5)·5 = 1,667 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 2,5)·5 = 6,667 m/s

Atsakymas

v′₁ = 1,667 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 175 N

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,25·(15 + 20) = 8,75 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 8,75/0,05 = 175 N

Atsakymas

F_avg = 175 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,487 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,4/2π)² = 0,487 m

Atsakymas

L = 0,487 m

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 15,86 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(230/2,9) = 8,906 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,2·8,906² = 15,86 m/s²

Atsakymas

a_max = 15,86 m/s²

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 464,6 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 500·(343 − 15)/(343 + 10)

f′ = 464,6 Hz

Atsakymas

f′ = 464,6 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: m_max = 1

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/1200 mm = 0,8333 µm

Didžiausia eilė

m ≤ d/λ = 0,8333 µm/0,656 µm = 1,27 → m_max = 1

Atsakymas

m_max = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics