Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

45 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 45 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 20 m/s greičiu nuo stogo, esančio 30 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 20 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

7 kg kūnas slysta žemyn nuokalne be trinties, pasvirusia 20° kampu į horizontą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 7 kgθ = 20°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

4 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 2,5 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 4 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 20° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 22 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 19 m/s greičiu 25° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 5 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 19 m/sθ = 25°h = 5 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

1200 kg automobilis 10 m/s greičiu važiuoja per kelio kauburio viršūnę. Kauburio viršūnė yra 45 m spindulio apskritimo lankas. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą N, kuria kelias viršūnėje veikia automobilį.

m = 1200 kgv = 10 m/sr = 45 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Judėjimas apskritimuSunkus

2,5 kg vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas 26,4 m aukštyje ant bėgio be trinties ir pervažiuoja vertikalią 6 m spindulio kilpą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą N_bottom, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos apačioje.

m = 2,5 kgh = 26,4 mR = 6 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Raskite jo greitį v, nuslydus 9 m nuokalne.

θ = 35°μ = 0,15d = 9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kaladėlė iš rimties būsenos 20° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 55 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 4 m aukštyn šlaitu.

m = 5 kgF = 55 Nθ = 20°μ = 0,2d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

0,5 kg vežimėlis, judantis 12 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 4,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 0,5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 25 m/s greičiu važiuojantis 1000 kg automobilis susiduria su į šiaurę 13 m/s greičiu važiuojančiu 1600 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų judėjimo kryptį θ iškart po susidūrimo, matuojant nuo rytų krypties į šiaurę.

m₁ = 1000 kgv₁ = 25 m/s (E)m₂ = 1600 kgv₂ = 13 m/s (N)

θ = °

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 1 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 3,26 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.

L = 1 mT = 3,26 s

g = m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

12 g kulka, lekianti 200 m/s greičiu, pataiko į 1 kg tašelį, gulintį ant paviršiaus be trinties, ir jame įstringa. Tašelis pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės, kurios k = 1500 N/m. Raskite atsiradusių svyravimų amplitudę A cm.

m = 12 gv = 200 m/sM = 1 kgk = 1500 N/m

A = cm

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

3 cm aukščio daiktas yra 25 cm atstumu prieš ploną lęšį (glaudžiamasis), kurio židinio nuotolis 12 cm. Raskite vaizdo aukštį h_i (neigiamas apverstam vaizdui).

h_o = 3 cmd_o = 25 cmf = 12 cm

h_i = cm

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Stovintis stovėjimo jutiklis siunčia 25 kHz ultragarsą į automobilį, artėjantį 30 m/s greičiu. Raskite jutiklio gaunamo aido dažnį f″ (garso greitis 343 m/s).

f = 25 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 15,63 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·5) = 15,63 m

Atsakymas

s = 15,63 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 5,244 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−30 = 20·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 20·t − 30 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (20 + √(20² + 2·9,81·30))/9,81 = 5,244 s

Atsakymas

t = 5,244 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,355 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0) = 3,355 m/s²

Atsakymas

a = 3,355 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,773 m/s²

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 0)/6,5 = 3,773 m/s²

Atsakymas

a = 3,773 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 2,886 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 20° = 20,67 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 20° = 7,524 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 7,524²/(2·9,81) = 2,886 m

Atsakymas

H = 2,886 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 8,286 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 19·sin 25° = 8,03 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 8,03²/(2·9,81) = 3,286 m

Aukštis virš žemės

H = 5 + 3,286 = 8,286 m

Atsakymas

H = 8,286 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: N = 9105 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgos viršuje

Teigiama kryptis į centrą (žemyn).

m·g − N = m·v²/r

N = 1200·9,81 − 1200·10²/45 = 11772 − 2667 = 9105 N

Atsakymas

N = 9105 N

Automobilis tampa lengvesnis: kelias stumia aukštyn mažesne jėga nei jo svoris.

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: N_bottom = 240,3 N

Greitis iš energijos tvermės

v² = 2·9,81·26,4 = 518 m²/s²

Jėgos

Teigiama kryptis į centrą.

N = m·v²/R + m·g = 2,5·518/6 + 24,53 = 240,3 N

Atsakymas

N_bottom = 240,3 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 8,921 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·9·(0,5736 − 0,15·0,8192)) = 8,921 m/s

Atsakymas

v = 8,921 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 6,812 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 16,78 N

μ·mg·cos θ = 9,218 N

Darbas ir energija

½mv² = (55 − 25,99)·4 = 116 J

v = √(2·116/5) = 6,812 m/s

Atsakymas

v = 6,812 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = −9,6 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (0,5 − 4,5)/(0,5 + 4,5)·12 = −9,6 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 4,5)·12 = 2,4 m/s

Atsakymas

v′₁ = −9,6 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad pirmasis vežimėlis atšoka atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: θ = 39,76 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 1000·25 = 25000 kg·m/s

p_y = 1600·13 = 20800 kg·m/s

Kryptis

tan θ = p_y/p_x = 0,832 → θ = 39,76°

Atsakymas

θ = 39,76°

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: g = 3,715 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Išreiškite g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/3,26² = 3,715 m/s²

Atsakymas

g = 3,715 m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: A = 6,16 cm

Greitis po smūgio

V = m·v/(m + M) = 0,012·200/1,012 = 2,372 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/1,012) = 38,5 rad/s

Amplitudė

A = V/ω = 2,372/38,5 = 0,0616 m = 6,16 cm

Atsakymas

A = 6,16 cm

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: h_i = −2,769 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Plonojo lęšio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/25

d_i = 23,08 cm

Didinimas ir aukštis

m = −23,08/25 = −0,9231

h_i = −0,9231·3 = −2,769 cm

Atsakymas

h_i = −2,769 cm

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f″ = 29792 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Dažnis prie automobilio

f′ = 25000·(343 + 30)/343 = 27187 Hz

Aido dažnis

f″ = f′·343/(343 − 30) = 29792 Hz

Atsakymas

f″ = 29792 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics