Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

100 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 0,7 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 8 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 100 km/ht_r = 0,7 sa = −8 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 7 m/s greičiu nuo stogo, esančio 10 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 7 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

4,5 kg ir 2,5 kg kroviniai kabo abipus lengvo skridinio be trinties, sujungti lengvu siūlu. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite krovinių pagreitį a.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 2,5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

4,5 kg kaladėlė ant 25° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 9 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 9 kgθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 14 m/s greičiu 50° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 6 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 14 m/sθ = 50°x = 6 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 12 m/s greičiu 55° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 50 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 12 m/sθ = 55°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 1,5 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 50° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite vieno apsisukimo trukmę T.

L = 1,5 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,5 kg rutuliukas ant 1,4 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 3 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1,5 kgr = 1,4 mv = 3 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,2 kg rutuliukas kabo ant lengvo 3 m ilgio siūlo. Jis atitraukiamas, kol siūlas su vertikale sudaro 40° kampą, ir paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite siūlo įtempimo jėgą T, kai rutuliukas eina pro žemiausią tašką.

m = 0,2 kgL = 3 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Darbas ir energijaSunkus

8 kg kaladėlė iš rimties būsenos 30° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 115 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 4 m aukštyn šlaitu.

m = 8 kgF = 115 Nθ = 30°μ = 0,25d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

12 g kulka horizontaliai įšaunama į 2,5 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 22 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 12 gM = 2,5 kgh = 22 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1700 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 800 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 17 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1700 kgm₂ = 800 kgd = 17 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 1,1 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 1,1 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,1 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 390 N/m, atitraukiamas 7 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 1,1 kgk = 390 N/mA = 7 cm

a_max = m/s²

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose pritvirtinta styga yra 0,8 m ilgio; bangos juo sklinda 120 m/s greičiu. Raskite jo 5-osios harmonikos dažnį f₅.

v = 120 m/sn = 5L = 0,8 m

f₅ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

480 nm bangos ilgio šviesa krinta į du plyšius, nutolusius 0,3 mm. Ekranas yra 1,5 m atstumu. Raskite atstumą y₅ nuo centrinio šviesaus ruožo iki šviesaus ruožo, kurio numeris 5.

λ = 480 nmd = 0,3 mmL = 1,5 mm = 5

y₅ = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 67,67 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 27,78·0,7 = 19,44 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·8) = 48,23 m

Iš viso

d = 19,44 + 48,23 = 67,67 m

Atsakymas

d = 67,67 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 12,5 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 7²/(2·9,81) = 2,497 m

Aukštis virš žemės

h_max = 10 + 2,497 = 12,5 m

Atsakymas

h_max = 12,5 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,803 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Pagreitis

Varomoji atstojamoji jėga yra svorių skirtumas; ji judina visą masę.

a = (4,5 − 2,5)·9,81/(4,5 + 2,5) = 2,803 m/s²

Atsakymas

a = 2,803 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,565 m/s²

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 88,29 N

m₁·g·sin θ = 18,66 N

μ·m₁·g·cos θ = 8,002 N

Sistemos pagreitis

a = (88,29 − 18,66 − 8,002)/13,5 = 4,565 m/s²

Atsakymas

a = 4,565 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 4,97 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 14·cos 50° = 8,999 m/s

t = x/v_x = 6/8,999 = 0,6667 s

Aukštis tuo momentu

y = 10,72·0,6667 − ½·9,81·0,6667² = 4,97 m

Atsakymas

y = 4,97 m

Prie sienos kamuolys dar kyla.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 54,92 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 12·sin 55° = 9,83 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 9,83²/(2·9,81) = 4,925 m

Aukštis virš žemės

H = 50 + 4,925 = 54,92 m

Atsakymas

H = 54,92 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 1,97 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 1,5·sin 50° = 1,149 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,149·9,81·tan 50°) = 3,665 m/s

Periodas

T = 2π·r/v = 2π·1,149/3,665 = 1,97 s

Atsakymas

T = 1,97 s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 24,36 N

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,5·9,81 + 1,5·3²/1,4 = 14,71 + 9,643 = 24,36 N

Atsakymas

T = 24,36 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: T = 2,88 N

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Judant apskritimu, į centrą nukreipta atstojamoji jėga turi būti lygi mv²/r.

Greitis apačioje

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·3·(1 − cos 40°) = 13,77 m²/s²

Jėgos apačioje

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·13,77/3 = 2,88 N

Atsakymas

T = 2,88 N

Patikra: T = mg(3 − 2cos θ) = 2,88 N.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 7,666 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 8·9,81 = 78,48 N

mg·sin θ = 39,24 N

μ·mg·cos θ = 16,99 N

Darbas ir energija

½mv² = (115 − 56,23)·4 = 235,1 J

v = √(2·235,1/8) = 7,666 m/s

Atsakymas

v = 7,666 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 434,9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,22) = 2,078 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 2,5)·2,078/0,012 = 434,9 m/s

Atsakymas

v = 434,9 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 18,99 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·17) = 12,91 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·12,91/1700 = 18,99 m/s

Atsakymas

v₁ = 18,99 m/s

(68,37 km/h)

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 2,104 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(1,1/9,81) = 2,104 s

Atsakymas

T = 2,104 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 24,82 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(390/1,1) = 18,83 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,07·18,83² = 24,82 m/s²

Atsakymas

a_max = 24,82 m/s²

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f₅ = 375 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Šios modos bangos ilgis

λ = 2L/n = 2·0,8/5 = 0,32 m

Dažnis

f = v/λ = 120/0,32 = 375 Hz

Atsakymas

f₅ = 375 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: y₅ = 12 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Ruožų tarpas

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·1,5/(0,3 × 10⁻³) = 2,4 mm

Ruožo numeris 5

y₅ = 5·2,4 = 12 mm

Atsakymas

y₅ = 12 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics