Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvas pajuda iš vietos ir pakilimo taku tolygiai greitėja 1,5 m/s² pagreičiu. Raskite jo greitį v nuriedėjus 1300 m.

v₀ = 0a = 1,5 m/s²s = 1300 m

v = m/s

2.KinematikaSunkus

Akmuo be pradinio greičio numetamas į šulinį. Pliūpsnis išgirstamas praėjus 3,7 s nuo akmens paleidimo. Garso greitis 343 m/s; nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite šulinio gylį d.

t_total = 3,7 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

2 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 2 kgθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 35° rampa 8 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 8 m/sθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 50° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 22 m/sθ = 50°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 60° kampu į horizontą nuo 45 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 30 m/sθ = 60°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 2,8 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią kampinį greitį ω rad/s.

r = 2,8 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,9 kg rutuliukas ant lengvo 1 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 9,5 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 1,9 kgr = 1 mv_bottom = 9,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 20° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Raskite jo greitį v, nuslydus 16 m nuokalne.

θ = 20°μ = 0,15d = 16 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kaladėlė iš rimties būsenos 30° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 70 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 2 m aukštyn šlaitu.

m = 5 kgF = 70 Nθ = 30°μ = 0,2d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

3,5 kg vežimėlis, judantis 10 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,45 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 30 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 4 m/s greičiu. Sąlytis trunka 20 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,45 kgv_in = 30 m/sv_out = 4 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

1,1 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 500 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 14 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 8 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 1,1 kgk = 500 N/mA = 14 cmx = 8 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,5 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 380 N/m, atitraukiamas 3 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 1,5 kgk = 380 N/mA = 3 cm

E = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

400 Hz dažnio šaltinis juda 25 m/s greičiu nuo nejudančio stebėtojo. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Gardelė su 400 linijų milimetrui rodo spektro linijos 3 eilės maksimumą 36,9° kampu nuo tiesios krypties. Raskite linijos bangos ilgį λ.

N = 400 mm⁻¹θ₃ = 36,9°m = 3

λ = nm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: v = 62,45 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Greitis nuvažiavus atstumą

v = √(2·a·s) = √(2·1,5·1300) = 62,45 m/s

Atsakymas

v = 62,45 m/s

(224,8 km/h)

2.Kinematika

Atsakymas: d = 60,86 m

Dvi laiko dalys

½·9,81·t₁² = 343·(3,7 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1269 = 0

Kritimo trukmė

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1269))/(2·4,905) = 3,523 s

Gylis

d = ½·9,81·3,523² = 60,86 m

Atsakymas

d = 60,86 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,356 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 30° − 0,3·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2598) = 2,356 m/s²

Atsakymas

a = 2,356 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 4,976 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 35° + 0,1·cos 35°) = 6,43 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·6,43) = 4,976 m

Atsakymas

d = 4,976 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 14,48 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 50° = 14,14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 50° = 16,85 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 16,85²/(2·9,81) = 14,48 m

Atsakymas

H = 14,48 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 100,1 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 60° = 15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 60° = 25,98 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 45 + 25,98·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (25,98 + √(675 + 882,9))/9,81 = 6,672 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 15·6,672 = 100,1 m

Atsakymas

x = 100,1 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: ω = 2,647 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,5·2,8)) = 2,647 rad/s

Atsakymas

ω = 2,647 rad/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 78,28 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 9,5² − 4·9,81·1 = 51,01 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,9·51,01/1 − 1,9·9,81 = 78,28 N

Atsakymas

T_top = 78,28 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 7,945 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·16·(0,342 − 0,15·0,9397)) = 7,945 m/s

Atsakymas

v = 7,945 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 5,439 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 24,52 N

μ·mg·cos θ = 8,496 N

Darbas ir energija

½mv² = (70 − 33,02)·2 = 73,96 J

v = √(2·73,96/5) = 5,439 m/s

Atsakymas

v = 5,439 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = −1,765 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (3,5 − 5)/(3,5 + 5)·10 = −1,765 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 5)·10 = 8,235 m/s

Atsakymas

v′₁ = −1,765 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad pirmasis vežimėlis atšoka atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 765 N

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,45·(4 + 30) = 15,3 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 15,3/0,02 = 765 N

Atsakymas

F_avg = 765 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 2,449 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(500/1,1) = 21,32 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 21,32·√(0,14² − 0,08²) = 2,449 m/s

Atsakymas

v = 2,449 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 0,171 J

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(380/1,5) = 15,92 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·380·0,03² = 0,171 J

Atsakymas

E = 0,171 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 372,8 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 400·(343 − 0)/(343 + 25)

f′ = 372,8 Hz

Atsakymas

f′ = 372,8 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: λ = 500,4 nm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Bangos ilgis

λ = d·sin θ/m = 2,5 × 10⁻⁶·sin 36,9°/3 = 500,4 nm

Atsakymas

λ = 500,4 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics