Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

36 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 3,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 36 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 19 m/s greičiu nuo stogo, esančio 5 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 19 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

3 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 3 kgθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

1,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 3 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 70° kampu virš horizontalės ir nukrinta 125 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 70°R = 125 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 29 m/s greičiu 35° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 2 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 29 m/sθ = 35°h_roof = 2 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 1,8 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 15° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite vieno apsisukimo trukmę T.

L = 1,8 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1 kg rutuliukas ant 1,1 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 3 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1 kgr = 1,1 mv = 3 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

2000 kg automobilis važiuoja į 3° šlaitą pastoviu 90 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 650 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 2000 kgθ = 3°F_r = 650 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

0,5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 3,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 5 m ilgio juostą (μ = 0,2) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 2000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 0,5 kgh = 3,5 mL = 5 mμ = 0,2k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

2 kg vežimėlis, judantis 10 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 4 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,3 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 29 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 16 m/s greičiu. Sąlytis trunka 10 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,3 kgv_in = 29 m/sv_out = 16 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1,1 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 1,1 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,5 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 120 N/m, atitraukiamas 17 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 1,5 kgk = 120 N/mA = 17 cm

a_max = m/s²

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose atviras vamzdis turi turėti, kad jo 2-osios harmonikos dažnis būtų 343 Hz. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite vamzdžio ilgį L.

v = 343 m/sn = 2f₂ = 343 Hz

L = m

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Difrakcinė gardelė turi 800 linijų milimetrui. Šviesa, kurios bangos ilgis 600 nm, krinta į ją statmenai. Kokia didžiausia matoma šviesaus maksimumo eilė m_max?

N = 800 mm⁻¹λ = 600 nm

m_max =

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 14,29 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·3,5) = 14,29 m

Atsakymas

s = 14,29 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 23,4 m

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9,81) = 18,4 m

Aukštis virš žemės

h_max = 5 + 18,4 = 23,4 m

Atsakymas

h_max = 23,4 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,356 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 30° − 0,3·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2598) = 2,356 m/s²

Atsakymas

a = 2,356 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 6,213 m/s²

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 1,472)/4,5 = 6,213 m/s²

Atsakymas

a = 6,213 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 43,68 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·125/sin 140°) = 43,68 m/s

Atsakymas

v₀ = 43,68 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 77,59 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 23,76 m/s, v_y = 16,63 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

2 = 16,63·t − 4,905·t²

t = (16,63 + √(16,63² − 2·9,81·2))/9,81 = 3,266 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 23,76·3,266 = 77,59 m

Atsakymas

x = 77,59 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 2,645 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 1,8·sin 15° = 0,4659 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,4659·9,81·tan 15°) = 1,107 m/s

Periodas

T = 2π·r/v = 2π·0,4659/1,107 = 2,645 s

Atsakymas

T = 2,645 s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 17,99 N

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9,81 + 1·3²/1,1 = 9,81 + 8,182 = 17,99 N

Atsakymas

T = 17,99 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 41,92 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 2000·9,81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 3° = 1027 N

F = 1027 + 650 = 1677 N

Galia

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 1677·25 = 41921 W = 41,92 kW

Atsakymas

P = 41,92 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 11,07 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 4,905·(3,5 − 0,2·5) = 12,26 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 12,26 → x = √(2·12,26/2000) = 0,1107 m = 11,07 cm

Atsakymas

x = 11,07 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 6,667 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (2 − 4)/(2 + 4)·10 = −3,333 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 4)·10 = 6,667 m/s

Atsakymas

v′₂ = 6,667 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 1350 N

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,3·(16 + 29) = 13,5 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 13,5/0,01 = 1350 N

Atsakymas

F_avg = 1350 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,3007 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,1/2π)² = 0,3007 m

Atsakymas

L = 0,3007 m

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 13,6 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(120/1,5) = 8,944 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,17·8,944² = 13,6 m/s²

Atsakymas

a_max = 13,6 m/s²

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: L = 1 m

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Bangos ilgis

λ = v/f = 343/343 = 1 m

Ilgis

L = nλ/2 = 2·1/2 = 1 m

Atsakymas

L = 1 m

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: m_max = 2

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/800 mm = 1,25 µm

Didžiausia eilė

m ≤ d/λ = 1,25 µm/0,6 µm = 2,083 → m_max = 2

Atsakymas

m_max = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics