Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvas pajuda iš vietos ir pakilimo taku tolygiai greitėja 3,25 m/s² pagreičiu. Raskite jo greitį v nuriedėjus 1200 m.

v₀ = 0a = 3,25 m/s²s = 1200 m

v = m/s

2.KinematikaSunkus

Akmuo be pradinio greičio numetamas į šulinį. Pliūpsnis išgirstamas praėjus 2,3 s nuo akmens paleidimo. Garso greitis 343 m/s; nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite šulinio gylį d.

t_total = 2,3 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

18 kg kūnas slysta žemyn nuokalne be trinties, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 18 kgθ = 40°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 15° rampa 11 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 11 m/sθ = 15°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 60° kampu virš horizontalės ir nukrinta 25 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 60°R = 25 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 23 m/s greičiu 60° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 10 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite greitį v, kuriuo jis atsitrenkia į žemę.

v₀ = 23 m/sθ = 60°h = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

350 m spindulio posūkis turi 25° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 350 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,7 kg rutuliukas ant lengvo 0,6 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 8,5 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 1,7 kgr = 0,6 mv_bottom = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 1500 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,1 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 8 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,1 kgk = 1500 N/mx = 8 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

8 kg kaladėlė iš rimties būsenos 25° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 75 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 8 m aukštyn šlaitu.

m = 8 kgF = 75 Nθ = 25°μ = 0,25d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

7 kg sviedinys, horizontaliai judantis 16 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 1 kg skeveldra toliau juda pirmyn 29 m/s greičiu. Raskite 6 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 7 kgu = 16 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 29 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,55 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 10 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 13 m/s greičiu. Sąlytis trunka 10 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,55 kgv_in = 10 m/sv_out = 13 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

2,6 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 300 N/m, atitraukiamas 14 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo greitį v momentu t = 0,3 s (su ženklu).

m = 2,6 kgk = 300 N/mA = 14 cmt = 0,3 s

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3,6 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 20 N/m, atitraukiamas 15 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 3,6 kgk = 20 N/mA = 15 cm

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose atviras vamzdis yra 0,4 m ilgio. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite jo 2-osios harmonikos dažnį f₂.

v = 343 m/sn = 2L = 0,4 m

f₂ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Difrakcinė gardelė turi 100 linijų milimetrui. Šviesa, kurios bangos ilgis 550 nm, krinta į ją statmenai. Kokia didžiausia matoma šviesaus maksimumo eilė m_max?

N = 100 mm⁻¹λ = 550 nm

m_max =

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: v = 88,32 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Greitis nuvažiavus atstumą

v = √(2·a·s) = √(2·3,25·1200) = 88,32 m/s

Atsakymas

v = 88,32 m/s

(317,9 km/h)

2.Kinematika

Atsakymas: d = 24,37 m

Dvi laiko dalys

½·9,81·t₁² = 343·(2,3 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 788,9 = 0

Kritimo trukmė

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·788,9))/(2·4,905) = 2,229 s

Gylis

d = ½·9,81·2,229² = 24,37 m

Atsakymas

d = 24,37 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 6,306 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0) = 6,306 m/s²

Atsakymas

a = 6,306 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 15,28 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 15° + 0,15·cos 15°) = 3,96 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 11²/(2·3,96) = 15,28 m

Atsakymas

d = 15,28 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 16,83 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·25/sin 120°) = 16,83 m/s

Atsakymas

v₀ = 16,83 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v = 26,93 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 23·cos 60° = 11,5 m/s

v_y0 = 23·sin 60° = 19,92 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(19,92² + 2·9,81·10) = 24,35 m/s

Greitis atsitrenkiant

v = √(11,5² + 24,35²) = 26,93 m/s

Atsakymas

v = 26,93 m/s

Patikrinkite energija: v² = v₀² + 2gh.

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 40,01 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(350·9,81·tan 25°) = 40,01 m/s

Atsakymas

v = 40,01 m/s

(144 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 121,3 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 8,5² − 4·9,81·0,6 = 48,71 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,7·48,71/0,6 − 1,7·9,81 = 121,3 N

Atsakymas

T_top = 121,3 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 4,893 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·1500·0,08² = 4,8 J

Aukštis

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 4,8/0,981 = 4,893 m

Atsakymas

h = 4,893 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 6,936 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 8·9,81 = 78,48 N

mg·sin θ = 33,17 N

μ·mg·cos θ = 17,78 N

Darbas ir energija

½mv² = (75 − 50,95)·8 = 192,4 J

v = √(2·192,4/8) = 6,936 m/s

Atsakymas

v = 6,936 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 13,83 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 7·16 = 112 kg·m/s

Judesio kiekis po

112 = 1·29 + 6·v′₂

v′₂ = (112 − 29)/6 = 13,83 m/s

Atsakymas

v′₂ = 13,83 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 1265 N

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,55·(13 + 10) = 12,65 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 12,65/0,01 = 1265 N

Atsakymas

F_avg = 1265 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,1216 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(300/2,6) = 10,74 rad/s

ω·t = 10,74·0,3 = 3,223 rad

Greitis

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,14·10,74·sin(3,223) = 0,1216 m/s

Atsakymas

v = 0,1216 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,3536 m/s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(20/3,6) = 2,357 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,15·2,357 = 0,3536 m/s

Atsakymas

v_max = 0,3536 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f₂ = 857,5 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Šios modos bangos ilgis

λ = 2L/n = 2·0,4/2 = 0,4 m

Dažnis

f = v/λ = 343/0,4 = 857,5 Hz

Atsakymas

f₂ = 857,5 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: m_max = 18

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/100 mm = 10 µm

Didžiausia eilė

m ≤ d/λ = 10 µm/0,55 µm = 18,18 → m_max = 18

Atsakymas

m_max = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics