Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

108 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 1,5 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 108 km/ht_r = 1,5 sa = −5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Raketos modelis paleidžiamas vertikaliai aukštyn iš rimties būsenos. Variklis 1,5 s suteikia jai pastovų 30 m/s² pagreitį aukštyn, po to variklis išsijungia ir raketa juda laisvai. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią raketos pasiekiamą aukštį h_max.

a = 30 m/s²t₁ = 1,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

19 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 19 kgθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

2,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 35° kampu virš horizontalės ir nukrinta 150 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 35°R = 150 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 35 m/s greičiu 50° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 6 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 35 m/sθ = 50°h_roof = 6 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 110 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 110 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,7 kg rutuliukas ant 1 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 8,5 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1,7 kgr = 1 mv = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 400 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,25 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 10 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,25 kgk = 400 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

15 kg kaladėlė iš rimties būsenos 20° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 110 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 8 m aukštyn šlaitu.

m = 15 kgF = 110 Nθ = 20°μ = 0,2d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1,5 kg vežimėlis, judantis 7 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 0,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 1,5 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

8 g kulka horizontaliai įšaunama į 2,5 kg tašelį, kabantį ant lengvų 0,7 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 35° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 8 gM = 2,5 kgL = 0,7 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

2,1 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 440 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 7 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 2 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 2,1 kgk = 440 N/mA = 7 cmx = 2 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 50 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 11 cm amplitude. Raskite jo kinetinę energiją K, kai jis yra 7 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 50 N/mA = 11 cmx = 7 cm

K = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Viename gale uždarytas vamzdis yra 1 m ilgio. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite jo 3-osios harmonikos dažnį f₃.

v = 343 m/sn = 3L = 1 m

f₃ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Gardelė su 100 linijų milimetrui rodo spektro linijos 3 eilės maksimumą 11,3° kampu nuo tiesios krypties. Raskite linijos bangos ilgį λ.

N = 100 mm⁻¹θ₃ = 11,3°m = 3

λ = nm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 135 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 30·1,5 = 45 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·5) = 90 m

Iš viso

d = 45 + 90 = 135 m

Atsakymas

d = 135 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 137 m

Varomoji fazė

v₁ = 30·1,5 = 45 m/s

h₁ = ½·30·1,5² = 33,75 m

Laisvasis skrydis aukštyn

Viršuje greitis lygus nuliui.

Δh = v₁²/(2g) = 45²/(2·9,81) = 103,2 m

h_max = 33,75 + 103,2 = 137 m

Atsakymas

h_max = 137 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,427 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 40° − 0,25·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1915) = 4,427 m/s²

Atsakymas

a = 4,427 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 20,5 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 7,357)/7 = 5,255 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2,5·5,255 + 7,357 = 20,5 N

Atsakymas

T = 20,5 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 39,57 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·150/sin 70°) = 39,57 m/s

Atsakymas

v₀ = 39,57 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 117,7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 22,5 m/s, v_y = 26,81 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

6 = 26,81·t − 4,905·t²

t = (26,81 + √(26,81² − 2·9,81·6))/9,81 = 5,232 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 22,5·5,232 = 117,7 m

Atsakymas

x = 117,7 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 25,45 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·110) = 25,45 m/s

Atsakymas

v_max = 25,45 m/s (91,6 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 139,5 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,7·9,81 + 1,7·8,5²/1 = 16,68 + 122,8 = 139,5 N

Atsakymas

T = 139,5 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 0,8155 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·400·0,1² = 2 J

Aukštis

m·g = 0,25·9,81 = 2,453 N

h = ½kx²/(mg) = 2/2,453 = 0,8155 m

Atsakymas

h = 0,8155 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 5,844 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 15·9,81 = 147,2 N

mg·sin θ = 50,33 N

μ·mg·cos θ = 27,66 N

Darbas ir energija

½mv² = (110 − 77,98)·8 = 256,1 J

v = √(2·256,1/15) = 5,844 m/s

Atsakymas

v = 5,844 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 3,5 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (1,5 − 0,5)/(1,5 + 0,5)·7 = 3,5 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 0,5)·7 = 10,5 m/s

Atsakymas

v′₁ = 3,5 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 494,1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 0,7·(1 − cos 35°) = 0,1266 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,1266) = 1,576 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 2,508·1,576/0,008 = 494,1 m/s

Atsakymas

v = 494,1 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,971 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(440/2,1) = 14,47 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 14,47·√(0,07² − 0,02²) = 0,971 m/s

Atsakymas

v = 0,971 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: K = 0,18 J

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·50·0,11² = 0,3025 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·50·0,07² = 0,1225 J

Kinetinė energija

K = 0,3025 − 0,1225 = 0,18 J

Atsakymas

K = 0,18 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f₃ = 257,3 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Šios modos bangos ilgis

λ = 4L/n = 4·1/3 = 1,333 m

Dažnis

f = v/λ = 343/1,333 = 257,3 Hz

Atsakymas

f₃ = 257,3 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: λ = 653,2 nm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Bangos ilgis

λ = d·sin θ/m = 1 × 10⁻⁵·sin 11,3°/3 = 653,2 nm

Atsakymas

λ = 653,2 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics