Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

60 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 8 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 60 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 8 m/s greičiu nuo stogo, esančio 40 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 8 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

Dėžė slysta lygiomis grindimis 4,5 m/s pradiniu greičiu ir sustoja nuslydusi 6,9 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kinetinės trinties koeficientą μ.

v₀ = 4,5 m/sd = 6,9 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 30° rampa 6 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 6 m/sθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 50° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 36 m/sθ = 50°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 31 m/s greičiu 50° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 5 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite greitį v, kuriuo jis atsitrenkia į žemę.

v₀ = 31 m/sθ = 50°h = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 120 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 120 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 1,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

2,5 kg kūnas nuslysta 3 m nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,25. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 2,5 kgθ = 30°μ = 0,25d = 3 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

0,5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 4,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3,5 m ilgio juostą (μ = 0,15) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 4000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 0,5 kgh = 4,5 mL = 3,5 mμ = 0,15k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

0,5 kg vežimėlis, judantis 8 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 3 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,15 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 26 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 18 m/s greičiu. Sąlytis trunka 40 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,15 kgv_in = 26 m/sv_out = 18 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 1,5 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 1,55 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.

L = 1,5 mT = 1,55 s

g = m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,9 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 350 N/m, atitraukiamas 8 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 1,9 kgk = 350 N/mA = 8 cm

E = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Mažas šaltinis skleidžia garsą vienodai visomis kryptimis. Lygis 5 m atstumu nuo jo yra 80 dB. Raskite lygį β₂ 10 m atstumu, nepaisydami sugerties ir atspindžių.

β₁ = 80 dBr₁ = 5 mr₂ = 10 m

β₂ = dB

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

486 nm bangos ilgio šviesa statmenai krinta į gardelę, turinčią 400 linijų milimetrui. Raskite 2 eilės maksimumo kampą θ₂.

N = 400 mm⁻¹λ = 486 nmm = 2

θ₂ = °

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 17,36 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·8) = 17,36 m

Atsakymas

s = 17,36 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 3,785 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−40 = 8·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 8·t − 40 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (8 + √(8² + 2·9,81·40))/9,81 = 3,785 s

Atsakymas

t = 3,785 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: μ = 0,1496

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

a = v₀²/(2d) = 4,5²/(2·6,9) = 1,467 m/s²

Trinties koeficientas

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,467/9,81 = 0,1496

Atsakymas

μ = 0,1496

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 2,415 m

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 30° + 0,3·cos 30°) = 7,454 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 6²/(2·7,454) = 2,415 m

Atsakymas

d = 2,415 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 130,1 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 50° = 23,14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 50° = 27,58 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·27,58/9,81 = 5,622 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 23,14·5,622 = 130,1 m

Atsakymas

x = 130,1 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v = 32,54 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 31·cos 50° = 19,93 m/s

v_y0 = 31·sin 50° = 23,75 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(23,75² + 2·9,81·5) = 25,73 m/s

Greitis atsitrenkiant

v = √(19,93² + 25,73²) = 32,54 m/s

Atsakymas

v = 32,54 m/s

Patikrinkite energija: v² = v₀² + 2gh.

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 26,58 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·120) = 26,58 m/s

Atsakymas

v_max = 26,58 m/s (95,68 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 3,836 m/s

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,5) = 3,836 m/s

Atsakymas

v_min = 3,836 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 15,93 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 24,53·0,866 = 21,24 N

F = μN = 0,25·21,24 = 5,31 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 5,31·3 = 15,93 J

Atsakymas

W_f = 15,93 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 9,874 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 4,905·(4,5 − 0,15·3,5) = 19,5 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 19,5 → x = √(2·19,5/4000) = 0,09874 m = 9,874 cm

Atsakymas

x = 9,874 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 2,286 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (0,5 − 3)/(0,5 + 3)·8 = −5,714 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 3)·8 = 2,286 m/s

Atsakymas

v′₂ = 2,286 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 165 N

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,15·(18 + 26) = 6,6 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 6,6/0,04 = 165 N

Atsakymas

F_avg = 165 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: g = 24,65 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Išreiškite g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,5/1,55² = 24,65 m/s²

Atsakymas

g = 24,65 m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 1,12 J

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(350/1,9) = 13,57 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·350·0,08² = 1,12 J

Atsakymas

E = 1,12 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: β₂ = 73,98 dB

Bangos: periodinė banga per vieną periodą nukeliauja vieną bangos ilgį, todėl v = fλ, kur T = 1/f. Ištemptoje stygoje v = √(T/μ), kur T yra įtempimas, o μ = m/L masė metrui. Garsas ore sklinda maždaug 343 m/s greičiu 20 °C temperatūroje, šviesa vakuume – c = 3,00 × 10⁸ m/s. Garsumas matuojamas logaritminiu mastu: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, kur I₀ = 10⁻¹² W/m², todėl 10 kartų didesnis intensyvumas prideda 10 dB. Taškinis šaltinis savo galią P skleidžia sfera: I = P/(4πr²).

Intensyvumų santykis

I₂/I₁ = (5/10)² = 0,25

Naujas lygis

β₂ = 80 + 10·log₁₀(0,25) = 73,98 dB

Atsakymas

β₂ = 73,98 dB

Kiekvienas atstumo padvigubinimas sumažina lygį maždaug 6 dB.

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: θ₂ = 22,88 °

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/400 mm = 2,5 × 10⁻⁶ m

Gardelės lygtis

sin θ = mλ/d = 2·486 × 10⁻⁹/(2,5 × 10⁻⁶) = 0,3888

θ = 22,88°

Atsakymas

θ₂ = 22,88°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics