Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

45 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 7,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 45 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 7 s greitėja 3 m/s² pagreičiu, tada 17 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 7 st₂ = 17 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

45 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 35° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 45 kgθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 30° rampa 10,5 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 10,5 m/sθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 45° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 28 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 34 m/s greičiu 60° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 30 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 34 m/sθ = 60°h_roof = 30 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Kelių inžinierius nori, kad automobiliai 140 m spindulio posūkį įveiktų 60 km/h greičiu nesiremdami trintimi. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite posvyrio kampą θ.

r = 140 mv = 60 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1 kg rutuliukas ant 1,2 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 3 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1 kgr = 1,2 mv = 3 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,2 kg rutuliukas kabo ant lengvo 3 m ilgio siūlo. Jis atitraukiamas, kol siūlas su vertikale sudaro 50° kampą, ir paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite siūlo įtempimo jėgą T, kai rutuliukas eina pro žemiausią tašką.

m = 0,2 kgL = 3 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Darbas ir energijaSunkus

30° šlaito apačioje esanti 1000 N/m standumo spyruoklė suspaudžiama 15 cm prie 5 kg kaladėlės ir atleidžiama. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir šlaito koeficientas 0,15. Kokį atstumą d aukštyn šlaitu nuo paleidimo taško kaladėlė nuslenka, kol sustoja? (Nepaisykite trumpo atstumo, kuriame stumia spyruoklė, t. y. trintį ir sunkio jėgą imkite visame atstume d.)

m = 5 kgk = 1000 N/mx = 15 cmθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

14 kg sviedinys, horizontaliai judantis 14 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 11 kg skeveldra toliau juda pirmyn 60 m/s greičiu. Raskite 3 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 14 kgu = 14 m/sm₁ = 11 kgv′₁ = 60 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1800 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1700 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 5 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,7. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1800 kgm₂ = 1700 kgd = 5 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1,7 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 1,7 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 460 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 16 cm amplitude. Raskite spyruoklėje sukauptą energiją U, kai krovinys yra 1 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 460 N/mA = 16 cmx = 1 cm

U = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

1000 Hz dažnio šaltinis, judantis 34 m/s greičiu, ir stebėtojas, judantis 15 m/s greičiu, tolsta vienas nuo kito. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Du plyšiai, nutolę 0,4 mm, apšviečiami monochromatine šviesa. Ekrane, esančiame 2 m atstumu, šviesus ruožas, kurio numeris 4, yra 10,64 mm nuo centrinio ruožo. Raskite bangos ilgį λ.

d = 0,4 mmL = 2 my₄ = 10,64 mmm = 4

λ = nm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 10,42 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·7,5) = 10,42 m

Atsakymas

s = 10,42 m

2.Kinematika

Atsakymas: s = 474,6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 3·7 = 21 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·3·7² = 73,5 m

s₂ = 21·17 = 357 m

s₃ = 21²/(2·5) = 44,1 m

Visas atstumas

s = 73,5 + 357 + 44,1 = 474,6 m

Atsakymas

s = 474,6 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 343,6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 253,2 + 90,4 = 343,6 N

Atsakymas

F = 343,6 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 7,843 m

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 30° + 0,25·cos 30°) = 7,029 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 10,5²/(2·7,029) = 7,843 m

Atsakymas

d = 7,843 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 19,98 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 45° = 19,8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 45° = 19,8 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 19,8²/(2·9,81) = 19,98 m

Atsakymas

H = 19,98 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 79,94 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 17 m/s, v_y = 29,44 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

30 = 29,44·t − 4,905·t²

t = (29,44 + √(29,44² − 2·9,81·30))/9,81 = 4,702 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 17·4,702 = 79,94 m

Atsakymas

x = 79,94 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: θ = 11,43 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Vienetai

v = 60/3,6 = 16,67 m/s

Posvyrio kampas

tan θ = v²/(r·g) = 16,67²/(140·9,81) = 0,2023

θ = 11,43°

Atsakymas

θ = 11,43°

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 17,31 N

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9,81 + 1·3²/1,2 = 9,81 + 7,5 = 17,31 N

Atsakymas

T = 17,31 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: T = 3,364 N

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Judant apskritimu, į centrą nukreipta atstojamoji jėga turi būti lygi mv²/r.

Greitis apačioje

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·3·(1 − cos 50°) = 21,03 m²/s²

Jėgos apačioje

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·21,03/3 = 3,364 N

Atsakymas

T = 3,364 N

Patikra: T = mg(3 − 2cos θ) = 3,364 N.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 0,3641 m

Spyruoklės energija

x = 15 cm = 0,15 m

½kx² = ½·1000·0,15² = 11,25 J

Energijos balansas nuokalne

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 11,25/(49,05·(0,5 + 0,15·0,866)) = 0,3641 m

Atsakymas

d = 0,3641 m

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = −154,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 14·14 = 196 kg·m/s

Judesio kiekis po

196 = 11·60 + 3·v′₂

v′₂ = (196 − 660)/3 = −154,7 m/s

Atsakymas

v′₂ = −154,7 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad antroji skeveldra lekia atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 16,11 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·5) = 8,287 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3500·8,287/1800 = 16,11 m/s

Atsakymas

v₁ = 16,11 m/s

(58,01 km/h)

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,7181 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,7/2π)² = 0,7181 m

Atsakymas

L = 0,7181 m

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: U = 0,023 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·460·0,16² = 5,888 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·460·0,01² = 0,023 J

Atsakymas

U = 0,023 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 870 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1000·(343 − 15)/(343 + 34)

f′ = 870 Hz

Atsakymas

f′ = 870 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: λ = 532 nm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Bangos ilgis

λ = y·d/(mL) = 0,01064·0,0004/(4·2) = 5,32 × 10⁻⁷ m = 532 nm

Atsakymas

λ = 532 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics