Fizika 2: elektra ir magnetizmas: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Kulono dėsnis
F = k·|q1q2|/r²
Taškinio krūvio laukas
E = k·|q|/r²
Konstanta
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Jėga, veikianti krūvį
F = q·E

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Nuosekliai sujungti rezistoriai
Req = R1 + R2 + …
Lygiagrečiai sujungti rezistoriai
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Du lygiagrečiai
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Omo dėsnis
V = I·R
Galia
P = V·I = I²R = V²/R

Metodas

  1. Pradėkite nuo grandinės galo, esančio toliausiai nuo gnybtų.
  2. Nuosekliai sujungtus rezistorius sudėkite, o lygiagrečius junkite pagal 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po kiekvieno žingsnio perbraižykite grandinę.
  4. Kartokite, kol tarp gnybtų liks vienas rezistorius.

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta
τ = RC | τ = L/R
Atsakas
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei
atvira grandinė; vC negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei
trumpasis jungimas; iL negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas
t ≈ 5τ

Metodas

  1. Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
  2. Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
  3. Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
  4. Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetiniai laukai ir indukcija

Ilgas tiesus laidas
B = μ0I/(2πr)
Plokščios ritės centras
B = μ0NI/(2R)
Ilgas solenoidas
B = μ0nI, n = N/L
Konstanta
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Jėga, veikianti laidą
F = BIL·sin θ
Jėga, veikianti krūvį
F = |q|vB·sin θ
Judėjimas apskritimu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Lygiagretūs laidai
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Srautas
Φ = BA·cos θ
Faradėjaus dėsnis
ε = −N·ΔΦ/Δt
Judantis strypas
ε = BLv
Generatorius
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktyvumas
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Abipusis induktyvumas
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Greičio selektorius ir spektrometras
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodas

  1. Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
  2. Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
  3. Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
  4. Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kampinis dažnis
ω = 2πf
Modulis ir kampas
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams
V = I·Z

Metodas

  1. Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
  2. Raskite kiekvieną reaktansą: XL = ωL ir XC = 1/(ωC).
  3. Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
  4. Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

2Uždaviniai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasVidutinis
++8 µC++6 µCr = 5 cm

Du vienodi maži metaliniai rutuliukai turi +8 µC ir +6 µC krūvius. Jie suliečiami, o paskui vėl padedami 5 cm atstumu. Raskite jėgos tarp jų didumą F dabar. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +8 µCq2 = +6 µCr = 5 cm
F = N
2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasSunkus
+−P2 × 8 cm3 cm+10 µC−10 µC

+10 µC ir −10 µC krūviai yra 16 cm atstumu vienas nuo kito. Taškas P yra 3 cm nuo vidurio taško tarp jų, ant juos jungiančios atkarpos vidurio statmens. Raskite elektrinio lauko stiprio didumą E taške P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +10 µCq2 = −10 µCd = 16 cmh = 3 cm
E = N/C
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiVidutinis
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​12 ΩB

Raskite ekvivalentinę varžą Req, kurią mato šaltinis V1.

V1 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSunkus
R1​ = 5 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​15 ΩBR6​20 Ω

Raskite ekvivalentinę varžą Req, kurią mato šaltinis V1.

V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩR4 = 15 ΩR5 = 12 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
5.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis
+−Vs​20 Vt = 0R = 22 ΩL220 mHi(t)

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite ritėje sukauptą energiją W momentu t = 15 ms, mJ.

Vs = 20 VR = 22 ΩL = 220 mHt = 15 ms
W = mJ
6.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus
+−Vs​24 Vt = 0R = 1 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 2 V su pažymėtu poliškumu. Per kiek laiko vC pasieks 10,8 V? Raskite t.

Vs = 24 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 2 V
t = ms
7.Magnetiniai laukai ir indukcijaVidutinis
R = 4 Ωv = 6 m/sL = 80 cmB = 0,5 T

80 cm ilgio metalinis strypas slysta 6 m/s greičiu dviem bėgeliais tolygiame 0,5 T lauke, nukreiptame į lapą. Bėgeliai sujungti 4 Ω rezistoriumi; strypo ir bėgelių varža nepaisoma. Raskite srovę I.

B = 0,5 TL = 80 cmv = 6 m/sR = 4 Ω
I = mA
8.Magnetiniai laukai ir indukcijaSunkus
Bn = 3600 rpm15 cm × 25 cmN = 150B = 0,5 T

150 vijų, 15 cm × 25 cm ritė sukasi 3600 aps./min. greičiu tolygiame 0,5 T lauke apie ašį, statmeną laukui. Raskite elektrovaros amplitudę E0.

N = 150A = 15 cm × 25 cmB = 0,5 Tn = 3600 rpm
E0 = V
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis
230 V200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 2,2 µFI

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 230 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF
I = A
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus
10 V60 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 22 µF

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 10 V (efektinė), 60 Hz maitinimo. Raskite grandinės rezonansinį dažnį f0.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 22 µF
f0 = Hz

3Tirpalai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: F = 176,2 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Krūvis suliečius

q′ = (8 + 6)/2 = 7 µC

Nauja jėga

F = 8,99 × 10⁹·(7 × 10⁻⁶)²/0,05² = 176,2 N

Atsakymas

F = 176,2 N

Dabar abiejų rutuliukų krūvių ženklas tas pats, todėl jie stumia vienas kitą.

2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: E = 2,306 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Vieno krūvio atstumas ir laukas

r = √(8² + 3²) = 8,544 cm
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,08544² = 1,232 × 10⁷ N/C

Dedamosios

Dedamosios išilgai statmens panaikina viena kitą.

E = 2·E1·(a/r) = 2·1,232 × 10⁷·0,9363 = 2,306 × 10⁷ N/C

Atsakymas

E = 2,306 × 10⁷ N/C

Laukas nukreiptas lygiagrečiai tiesei nuo teigiamo krūvio link neigiamo.

3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: Req = 22,91 Ω

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​12 ΩB

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R3 + R4 = 12 + 12 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 20·24/(20+24) = 10,91 Ω
Req = R1 + 10,91 = 12 + 10,91 = 22,91 Ω

Atsakymas

Req = 22,91 Ω
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: Req = 6,835 Ω

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

R1​ = 5 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​15 ΩBR6​20 Ω

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R5 + R6 = 12 + 20 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 10,21 Ω
R3 + 10,21 = 22,21 Ω
R2 ∥ 22,21 = 1,835 Ω
Req = R1 + 1,835 = 5 + 1,835 = 6,835 Ω

Atsakymas

Req = 6,835 Ω
5.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: W = 54,87 mJ

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms
i(∞) = Vs/R = 20/22 = 0,9091 A

Srovė duotuoju momentu

i(t) = 0,9091·(1 − e−15/10) = 0,7062 A

Sukaupta energija

W = ½·L·i² = ½·220·0,7062² = 54,87 mJ

Atsakymas

W = 54,87 mJ
6.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: t = 51,08 ms

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms
vC(t) = 24 + (2 − 24)·e−t/τ

Išreiškite laiką

10,8 = 24 + (−22)·e−t/τ → e−t/τ = (10,8 − 24)/(2 − 24) = 0,6
t = τ·ln((2 − 24)/(10,8 − 24)) = 100·ln(1,667) = 51,08 ms

Atsakymas

t = 51,08 ms
7.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: I = 600 mA

Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).

Judėjimo elektrovara

ε = BLv = 0,5·0,8·6 = 2,4 V

Srovė

I = ε/R = 2,4/4 = 0,6 A

Atsakymas

I = 600 mA
8.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: E0 = 1060 V

Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).

Kampinis greitis ir plotas

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s
A = 0,0375 m²

Elektrovaros amplitudė

E₀ = NBAω = 150·0,5·0,0375·377 = 1060 V

Atsakymas

E0 = 1060 V
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 1,831 A

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−110,4)²) = 125,6 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 230/125,6 = 1,831 A

Atsakymas

I = 1,831 A
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: f0 = 239,9 Hz

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Rezonansas

Rezonanso metu induktyvioji ir talpinė reaktyviosios varžos susiprastina: ωL = 1/(ωC). Maitinimo dažnis nesvarbus.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·22·10⁻⁶)) = 239,9 Hz

Atsakymas

f0 = 239,9 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism