Kulono dėsnis ir elektrinis laukas
- Kulono dėsnis
- F = k·|q1q2|/r²
- Taškinio krūvio laukas
- E = k·|q|/r²
- Konstanta
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Jėga, veikianti krūvį
- F = q·E
Fizika 2: elektra ir magnetizmas: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai
- Nuosekliai sujungti rezistoriai
- Req = R1 + R2 + …
- Lygiagrečiai sujungti rezistoriai
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Du lygiagrečiai
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Omo dėsnis
- V = I·R
- Galia
- P = V·I = I²R = V²/R
Metodas
- Pradėkite nuo grandinės galo, esančio toliausiai nuo gnybtų.
- Nuosekliai sujungtus rezistorius sudėkite, o lygiagrečius junkite pagal 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Po kiekvieno žingsnio perbraižykite grandinę.
- Kartokite, kol tarp gnybtų liks vienas rezistorius.
RC ir RL pereinamieji procesai
- Laiko konstanta
- τ = RC | τ = L/R
- Atsakas
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Kondensatorius esant nuolatinei srovei
- atvira grandinė; vC negali kisti šuoliu
- Ritė esant nuolatinei srovei
- trumpasis jungimas; iL negali kisti šuoliu
- Nusistovėjęs režimas
- t ≈ 5τ
Metodas
- Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
- Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
- Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
- Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Magnetiniai laukai ir indukcija
- Ilgas tiesus laidas
- B = μ0I/(2πr)
- Plokščios ritės centras
- B = μ0NI/(2R)
- Ilgas solenoidas
- B = μ0nI, n = N/L
- Konstanta
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Jėga, veikianti laidą
- F = BIL·sin θ
- Jėga, veikianti krūvį
- F = |q|vB·sin θ
- Judėjimas apskritimu
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Lygiagretūs laidai
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Srautas
- Φ = BA·cos θ
- Faradėjaus dėsnis
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Judantis strypas
- ε = BLv
- Generatorius
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induktyvumas
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Abipusis induktyvumas
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Greičio selektorius ir spektrometras
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Metodas
- Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
- Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
- Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
- Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.
Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai
- Pilnutinės varžos
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Kampinis dažnis
- ω = 2πf
- Modulis ir kampas
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Omo dėsnis fazoriams
- V = I·Z
Metodas
- Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
- Raskite kiekvieną reaktansą: XL = ωL ir XC = 1/(ωC).
- Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
- Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.
2Uždaviniai
1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasVidutinis
Du vienodi maži metaliniai rutuliukai turi +6 µC ir −8 µC krūvius. Jie suliečiami, o paskui vėl padedami 15 cm atstumu. Raskite jėgos tarp jų didumą F dabar. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +6 µCq2 = −8 µCr = 15 cm
F = N
2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasSunkus
Du vienodi maži rutuliukai, kiekvieno masė 10 g, kabo iš to paties taško ant 100 cm ilgio izoliuojančių siūlų. Jiems suteikiami vienodi krūviai, ir kiekvienas siūlas nusistovi 8° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kiekvieno rutuliuko krūvį q nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 10 gL = 100 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiVidutinis
Raskite ekvivalentinę varžą Req, kurią mato šaltinis V1.
V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSunkus
Raskite ekvivalentinę varžą Req, kurią mato šaltinis V1.
V1 = 36 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 ΩR4 = 5 ΩR5 = 2 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis
Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite įtampą vL ant ritės momentu t = 5 ms.
Vs = 9 VR = 68 ΩL = 220 mHt = 5 ms
vL = V
6.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus
Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 10 V su pažymėtu poliškumu. Raskite kondensatoriaus įtampą vC momentu t = 75 ms.
Vs = 20 VR = 2,2 kΩC = 100 µFvC(0) = 10 Vt = 75 ms
vC = V
7.Magnetiniai laukai ir indukcijaVidutinis
100 cm ilgio metalinis strypas slysta 6 m/s greičiu dviem bėgeliais tolygiame 0,4 T lauke, nukreiptame į lapą. Bėgeliai sujungti 10 Ω rezistoriumi; strypo ir bėgelių varža nepaisoma. Raskite jėgą F, reikalingą strypui judinti pastoviu greičiu (be trinties).
B = 0,4 TL = 100 cmv = 6 m/sR = 10 Ω
F = mN
8.Magnetiniai laukai ir indukcijaSunkus
Ilgas oro šerdies solenoidas turi 800 vijų, 40 cm ilgį ir 2,5 cm skersmenį. Raskite jo magnetiniame lauke sukauptą energiją W, kai juo teka 3 A srovė.
N = 800l = 40 cm⌀ = 2,5 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = mJ
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis
Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 24 V (efektinė), 1000 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos fazės kampą φ laipsniais (teigiamas, kai srovė atsilieka nuo įtampos).
V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 100 µF
φ = °
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus
Nuosekli RLC grandinė maitinama 5 V (efektinė) šaltiniu, kurio dažnis nustatytas lygus grandinės rezonansiniam dažniui. Raskite efektinę įtampą VL ant ritės.
V = 5 V (rms)R = 10 ΩL = 200 mHC = 1 µF
VL = V
3Tirpalai
1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas
Atsakymas: F = 0,3996 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Krūvis suliečius
q′ = (6 + −8)/2 = −1 µC
Nauja jėga
F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,15² = 0,3996 N
Atsakymas
F = 0,3996 N
Dabar abiejų rutuliukų krūvių ženklas tas pats, todėl jie stumia vienas kitą.
2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas
Atsakymas: q = 344,7 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Elektrinė jėga iš pusiausvyros
Įtempimo jėgos horizontalioji dalis atsveria F, vertikalioji – m·g.
F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 8° = 0,01379 N
Atstumas
r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 8° = 0,2783 m
Krūvis
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2783·√(0,01379/8,99 × 10⁹) = 3,447 × 10⁻⁷ C = 344,7 nC
Atsakymas
q = 344,7 nC
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai
Atsakymas: Req = 4,833 Ω
Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.
Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo
Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.
R3 + R4 = 12 + 10 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 2·22/(2+22) = 1,833 Ω
Req = R1 + 1,833 = 3 + 1,833 = 4,833 Ω
Atsakymas
Req = 4,833 Ω
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai
Atsakymas: Req = 11,25 Ω
Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.
Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo
Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.
R5 + R6 = 2 + 8 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 3,333 Ω
R3 + 3,333 = 18,33 Ω
R2 ∥ 18,33 = 7,253 Ω
Req = R1 + 7,253 = 4 + 7,253 = 11,25 Ω
Atsakymas
Req = 11,25 Ω
5.RC ir RL pereinamieji procesai
Atsakymas: vL = 1,919 V
Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.
Laiko konstanta ir galutinė srovė
Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.
τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3,235 ms
i(∞) = Vs/R = 9/68 = 0,1324 A
Ritės įtampa
Momentu t = 0 visa maitinimo įtampa yra ant ritės; vėliau ji slopsta iki nulio.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 9·e−5/3,235 = 1,919 V
Atsakymas
vL = 1,919 V
6.RC ir RL pereinamieji procesai
Atsakymas: vC = 12,89 V
Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.
Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta
Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.
vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 100 µF = 220 ms
vC(t) = 20 + (10 − 20)·e−t/τ
Įtampa duotuoju momentu
vC(75) = 20 + (−10)·e−75/220 = 12,89 V
Atsakymas
vC = 12,89 V
7.Magnetiniai laukai ir indukcija
Atsakymas: F = 96 mN
Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).
Judėjimo elektrovara
ε = BLv = 0,4·1·6 = 2,4 V
Srovė
I = ε/R = 2,4/10 = 0,24 A
Stabdymo jėga
Lenco dėsnis: jėga, veikianti indukuotą srovę, priešinasi judėjimui.
F = BIL = 0,4·0,24·1 = 0,096 N
Atsakymas
F = 96 mN
8.Magnetiniai laukai ir indukcija
Atsakymas: W = 4,441 mJ
Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).
Savaiminės indukcijos induktyvumas
L = μ₀N²A/l = 987 µH
Sukaupta energija
W = ½LI² = ½·0,000987·3² = 0,004441 J = 4,441 mJ
Atsakymas
W = 4,441 mJ
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai
Atsakymas: φ = 51,13 °
Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.
Reaktyviosios varžos
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1,592 Ω
Pilnutinė varža
Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (124,1)²) = 159,4 Ω
Fazės kampas
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(124,1/100) = 51,13°
Atsakymas
φ = 51,13°
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai
Atsakymas: VL = 223,6 V
Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.
Rezonansas
Rezonanso metu reaktyviosios varžos susiprastina, todėl pilnutinė varža lygi tik R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·1·10⁻⁶) = 2236 rad/s
I = V/R = 5/10 = 0,5 A
Įtampa ant ritės
XL = ω₀L = 2236·0,2 = 447,2 Ω
VL = I·XL = 0,5·447,2 = 223,6 V
Atsakymas
VL = 223,6 V
Tai Q = 44,72 kartų didesnė už maitinimo įtampą.
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism