Fizika 2: elektra ir magnetizmas: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Kulono dėsnis: F = k·|q₁q₂|/r²
Taškinio krūvio laukas: E = k·|q|/r²
Konstanta: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Jėga, veikianti krūvį: F = q·E

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Nuosekliai sujungti rezistoriai: R_eq = R₁ + R₂ + …
Lygiagrečiai sujungti rezistoriai: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Du lygiagrečiai: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Omo dėsnis: V = I·R
Galia: P = V·I = I²R = V²/R

Metodas

Pradėkite nuo grandinės galo, esančio toliausiai nuo gnybtų.
Nuosekliai sujungtus rezistorius sudėkite, o lygiagrečius junkite pagal 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po kiekvieno žingsnio perbraižykite grandinę.
Kartokite, kol tarp gnybtų liks vienas rezistorius.

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta: τ = RC | τ = L/R
Atsakas: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei: atvira grandinė; v_C negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei: trumpasis jungimas; i_L negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas: t ≈ 5τ

Metodas

Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetiniai laukai ir indukcija

Ilgas tiesus laidas: B = μ₀I/(2πr)
Plokščios ritės centras: B = μ₀NI/(2R)
Ilgas solenoidas: B = μ₀nI, n = N/L
Konstanta: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Jėga, veikianti laidą: F = BIL·sin θ
Jėga, veikianti krūvį: F = |q|vB·sin θ
Judėjimas apskritimu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Lygiagretūs laidai: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Srautas: Φ = BA·cos θ
Faradėjaus dėsnis: ε = −N·ΔΦ/Δt
Judantis strypas: ε = BLv
Generatorius: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktyvumas: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Abipusis induktyvumas: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Greičio selektorius ir spektrometras: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodas

Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

2Uždaviniai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasVidutinis

+6 µC ir +3 µC krūviai yra 10 cm atstumu vienas nuo kito. Kokiu atstumu x nuo +6 µC krūvio, tiesėje tarp jų, elektrinio lauko stipris lygus nuliui?

q₁ = +6 µCq₂ = +3 µCd = 10 cm

x = cm

2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasSunkus

+1 µC ir −1 µC krūviai yra 20 cm atstumu vienas nuo kito. Taškas P yra 4 cm nuo vidurio taško tarp jų, ant juos jungiančios atkarpos vidurio statmens. Raskite elektrinio lauko stiprio didumą E taške P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = −1 µCd = 20 cmh = 4 cm

E = N/C

3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiVidutinis

Raskite ekvivalentinę varžą R_eq, kurią mato šaltinis V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSunkus

Raskite ekvivalentinę varžą R_eq, kurią mato šaltinis V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

5.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite srovę i momentu t = 1 ms.

V_s = 10 VR = 68 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus

Jungiklis, lygiagretus R₂, ilgai buvo atidarytas, todėl ritės srovė nusistovėjusi. Momentu t = 0 jungiklis užsidaro ir trumpai sujungia R₂. Raskite ritės srovę i momentu t = 15 ms.

V_s = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 47 ΩL = 100 mHt = 15 ms

i = A

7.Magnetiniai laukai ir indukcijaVidutinis

Protonas juda 4 × 10⁶ m/s greičiu statmenai tolygiam 1 T magnetiniam laukui. Raskite jo apskritiminės trajektorijos spindulį r.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁶ m/sB = 1 T

r = cm

8.Magnetiniai laukai ir indukcijaSunkus

100 vijų, 10 cm × 10 cm ritė sukasi tolygiame 0,05 T lauke apie ašį, statmeną laukui. Kokiu greičiu n (apsisukimais per minutę) ji turi suktis, kad efektinė elektrovara būtų 11,11 V?

N = 100A = 10 cm × 10 cmB = 0,05 TE_rms = 11,11 V

n = rpm

9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 12 V (efektinė), 500 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 12 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite efektinę įtampą V_C ant kondensatoriaus.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 1 µF

V_C = V

3Tirpalai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: x = 5,858 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Vienodi laukai

6/x² = 3/(10 − x)²

(10 − x)/x = √(3/6) = 0,7071

Padėtis

x = 10/(1 + 0,7071) = 5,858 cm

Atsakymas

x = 5,858 cm

Nulinis taškas visada arčiau mažesniojo krūvio.

2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: E = 1,439 × 10⁶ N/C

Vieno krūvio atstumas ir laukas

r = √(10² + 4²) = 10,77 cm

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,1077² = 775000 N/C

Dedamosios

Dedamosios išilgai statmens panaikina viena kitą.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·775000·0,9285 = 1,439 × 10⁶ N/C

Atsakymas

E = 1,439 × 10⁶ N/C

Laukas nukreiptas lygiagrečiai tiesei nuo teigiamo krūvio link neigiamo.

3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: R_eq = 4,182 Ω

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R₃ + R₄ = 2 + 6 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 3·8/(3+8) = 2,182 Ω

R_eq = R₁ + 2,182 = 2 + 2,182 = 4,182 Ω

Atsakymas

R_eq = 4,182 Ω

4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: R_eq = 15,19 Ω

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

R₅ + R₆ = 10 + 4 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 5,833 Ω

R₃ + 5,833 = 15,83 Ω

R₂ ∥ 15,83 = 3,193 Ω

R_eq = R₁ + 3,193 = 12 + 3,193 = 15,19 Ω

Atsakymas

R_eq = 15,19 Ω

5.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: i = 0,09296 A

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 10/68 = 0,1471 A

Srovė duotuoju momentu

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1471·(1 − e^−1/1) = 0,09296 A

Atsakymas

i = 0,09296 A

6.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: i = 1,224 A

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Iki t = 0 kontūre yra abu rezistoriai; po to uždarytas jungiklis apeina R₂.

i(0) = 15/(10 + 47) = 0,2632 A

i(∞) = 15/10 = 1,5 A

τ = L/R = 100/10 = 10 ms

i(t) = 1,5 + (0,2632 − 1,5)·e^−t/τ

Srovė duotuoju momentu

i(15) = 1,5 + (−1,237)·e^−15/10 = 1,224 A

Atsakymas

i = 1,224 A

7.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: r = 4,177 cm

Magnetinės jėgos: tiesų laidą su srove I lauke B veikia F = BIL·sin θ, o judantį krūvį – F = |q|vB·sin θ, kur θ yra kampas tarp srovės (arba greičio) ir B. Jėga statmena abiem: dešinės rankos pirštus nukreipkite išilgai I arba v, lenkite link B, ir nykštys rodo F teigiamam krūviui; neigiamam krūviui kryptį apverskite. Kadangi F statmena v, krūvis, judantis skersai tolygaus lauko, juda apskritimu: |q|vB = mv²/r duoda r = mv/(|q|B) ir periodą T = 2πm/(|q|B), kuris nuo greičio nepriklauso. Du lygiagretūs laidai traukia vienas kitą, kai srovės teka ta pačia kryptimi: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Jėgų pusiausvyra

Magnetinė jėga visada statmena greičiui, todėl ji išlenkia trajektoriją į apskritimą.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Spindulys

r = 1,673 × 10⁻²⁷·4 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·1) = 0,04177 m = 4,177 cm

Atsakymas

r = 4,177 cm

8.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: n = 3001 rpm

Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).

Elektrovaros amplitudė

E₀ = √2·E_rms = 15,71 V

Kampinis greitis

ω = E₀/(NBA) = 15,71/(100·0,05·0,01) = 314,2 rad/s

Apsisukimai per minutę

n = 60·314,2/(2π) = 3001 rpm

Atsakymas

n = 3001 rpm

9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 0,01904 A

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (625,1)²) = 630,2 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 12/630,2 = 0,01904 A

Atsakymas

I = 0,01904 A

10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: V_C = 19,41 V

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·1·10⁻⁶) = 795,8 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−481,6)²) = 491,9 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 12/491,9 = 0,0244 A

Įtampa ant kondensatoriaus

V_C = I·X_C = 0,0244·795,8 = 19,41 V

Atsakymas

V_C = 19,41 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism