Fizika 2: elektra ir magnetizmas: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Kulono dėsnis
F = k·|q1q2|/r²
Taškinio krūvio laukas
E = k·|q|/r²
Konstanta
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Jėga, veikianti krūvį
F = q·E

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Nuosekliai sujungti rezistoriai
Req = R1 + R2 + …
Lygiagrečiai sujungti rezistoriai
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Du lygiagrečiai
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Omo dėsnis
V = I·R
Galia
P = V·I = I²R = V²/R

Metodas

  1. Pradėkite nuo grandinės galo, esančio toliausiai nuo gnybtų.
  2. Nuosekliai sujungtus rezistorius sudėkite, o lygiagrečius junkite pagal 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po kiekvieno žingsnio perbraižykite grandinę.
  4. Kartokite, kol tarp gnybtų liks vienas rezistorius.

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta
τ = RC | τ = L/R
Atsakas
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei
atvira grandinė; vC negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei
trumpasis jungimas; iL negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas
t ≈ 5τ

Metodas

  1. Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
  2. Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
  3. Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
  4. Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetiniai laukai ir indukcija

Ilgas tiesus laidas
B = μ0I/(2πr)
Plokščios ritės centras
B = μ0NI/(2R)
Ilgas solenoidas
B = μ0nI, n = N/L
Konstanta
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Jėga, veikianti laidą
F = BIL·sin θ
Jėga, veikianti krūvį
F = |q|vB·sin θ
Judėjimas apskritimu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Lygiagretūs laidai
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Srautas
Φ = BA·cos θ
Faradėjaus dėsnis
ε = −N·ΔΦ/Δt
Judantis strypas
ε = BLv
Generatorius
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktyvumas
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Abipusis induktyvumas
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Greičio selektorius ir spektrometras
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodas

  1. Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
  2. Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
  3. Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
  4. Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kampinis dažnis
ω = 2πf
Modulis ir kampas
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams
V = I·Z

Metodas

  1. Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
  2. Raskite kiekvieną reaktansą: XL = ωL ir XC = 1/(ωC).
  3. Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
  4. Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

2Uždaviniai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasVidutinis
−−5 µC++2 µCr = 40 cm

Du vienodi maži metaliniai rutuliukai turi −5 µC ir +2 µC krūvius. Jie suliečiami, o paskui vėl padedami 40 cm atstumu. Raskite jėgos tarp jų didumą F dabar. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −5 µCq2 = +2 µCr = 40 cm
F = N
2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasSunkus
3 cm4 cm+q1​ = +3 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +5 µC

Trys teigiami taškiniai krūviai yra stačiojo trikampio viršūnėse: q₃ = 5 µC yra stačiojo kampo viršūnėje, q₁ = 3 µC – 3 cm nuo jos išilgai vieno statinio, o q₂ = 5 µC – 4 cm nuo jos išilgai kito statinio. Raskite atstojamosios elektrinės jėgos, veikiančios q₃, modulį F.

q1 = 3 µCq2 = 5 µCq3 = 5 µCr13 = 3 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiVidutinis
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​5 ΩB

Raskite šaltinio tiekiamą srovę IR1, tekančią per R1.

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 20 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSunkus
R1​ = 30 ΩIR1​R3​ = 5 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAR4​2 ΩBR6​30 Ω

Raskite šaltinio tiekiamą srovę IR1, tekančią per R1.

V1 = 24 VR1 = 30 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩR4 = 2 ΩR5 = 25 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
5.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis
+−Vs​10 Vt = 0R = 47 ΩL100 mHi(t)

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Po kiek laiko nuo jungiklio užsidarymo srovė pasiekia 95% galutinės vertės? Raskite t.

Vs = 10 VR = 47 ΩL = 100 mH
t = ms
6.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus
+−Vs​5 Vt = 0R = 2,2 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 20 V

Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 20 V su pažymėtu poliškumu. Raskite kondensatoriaus įtampą vC momentu t = 75 ms.

Vs = 5 VR = 2,2 kΩC = 100 µFvC(0) = 20 Vt = 75 ms
vC = V
7.Magnetiniai laukai ir indukcijaVidutinis
dB/dt < 0I = ?

Apskritas kontūras yra tolygiame magnetiniame lauke, nukreiptame į lapą. Lauko stipris mažėja. Spustelėkite indukuotos srovės kontūre kryptį, matomą brėžinyje.

B: į lapądB/dt < 0
  1. 1pagal laikrodžio rodyklę
  2. 2prieš laikrodžio rodyklę
8.Magnetiniai laukai ir indukcijaSunkus
Bn = 3000 rpm15 cm × 15 cmN = 200B = 0,3 T

200 vijų, 15 cm × 15 cm ritė sukasi 3000 aps./min. greičiu tolygiame 0,3 T lauke apie ašį, statmeną laukui. Raskite elektrovaros efektinę vertę Erms.

N = 200A = 15 cm × 15 cmB = 0,3 Tn = 3000 rpm
Erms = V
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis
120 V50 HzR = 100 ΩL = 100 mHI

Rezistorius ir ritė lygiagrečiai prijungti prie 120 V (efektinė), 50 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos modulį |Z|.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 100 mH
|Z| = Ω
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus
VfR = 5 ΩL = 1 mHC = 0,47 µF

Nuoseklios RLC grandinės R = 5 Ω, L = 1 mH ir C = 0,47 µF. Raskite jos kokybės faktorių Q rezonanso metu.

R = 5 ΩL = 1 mHC = 0,47 µF
Q =

3Tirpalai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: F = 0,1264 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Krūvis suliečius

q′ = (−5 + 2)/2 = −1,5 µC

Nauja jėga

F = 8,99 × 10⁹·(1,5 × 10⁻⁶)²/0,4² = 0,1264 N

Atsakymas

F = 0,1264 N

Dabar abiejų rutuliukų krūvių ženklas tas pats, todėl jie stumia vienas kitą.

2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: F = 205,4 N

Kulono dėsnis: du taškiniai krūviai traukia arba stumia vienas kitą jėga F = k·|q₁·q₂|/r², kur k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Taškinio krūvio lauko stipris E = k·|q|/r²; laukas nukreiptas nuo teigiamo krūvio ir į neigiamą. Kelių krūvių jėgos ir laukai sumuojami kaip vektoriai.

Kiekviena jėga, veikianti q₃

F1 = k·3·5 × 10⁻¹²/0,03² = 149,8 N
F2 = k·5·5 × 10⁻¹²/0,04² = 140,5 N

Vektorinė suma

F = √(149,8² + 140,5²) = 205,4 N

Atsakymas

F = 205,4 N
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: IR1 = 0,7273 A

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

R1​ = 3 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​5 ΩB

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R3 + R4 = 20 + 5 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 15·25/(15+25) = 9,375 Ω
Req = R1 + 9,375 = 3 + 9,375 = 12,38 Ω

Šaltinio srovė

Šaltinis mato tik Req, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.

IR1 = V1/Req = 9/12,38 = 0,7273 A

Atsakymas

IR1 = 0,7273 A
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: IR1 = 0,7119 A

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

R1​ = 30 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAR4​2 ΩBR6​30 Ω

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R5 + R6 = 25 + 30 = 55 Ω
R4 ∥ 55 = 1,93 Ω
R3 + 1,93 = 6,93 Ω
R2 ∥ 6,93 = 3,713 Ω
Req = R1 + 3,713 = 30 + 3,713 = 33,71 Ω

Šaltinio srovė

Šaltinis mato tik Req, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.

IR1 = V1/Req = 24/33,71 = 0,7119 A

Atsakymas

IR1 = 0,7119 A
5.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: t = 6,374 ms

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2,128 ms
i(∞) = Vs/R = 10/47 = 0,2128 A

Išreiškite laiką

0,95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)
t = −2,128·ln(0,05) = 6,374 ms

Atsakymas

t = 6,374 ms
6.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: vC = 15,67 V

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.

vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 100 µF = 220 ms
vC(t) = 5 + (20 − 5)·e−t/τ

Įtampa duotuoju momentu

vC(75) = 5 + (15)·e−75/220 = 15,67 V

Atsakymas

vC = 15,67 V
7.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: pagal laikrodžio rodyklę

Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).

Srauto pokytis

Srautas iš lapo didėja arba srautas į lapą mažėja.

Indukuotos srovės laukas

Indukuota srovė priešinasi pokyčiui.

Indukuotas laukas kontūro viduje: į lapą.

Srovės kryptis

Dešinės rankos suėmimo taisyklė: srovė prieš laikrodžio rodyklę kontūro viduje sukuria lauką iš lapo.

pagal laikrodžio rodyklę

Atsakymas

pagal laikrodžio rodyklę
8.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: Erms = 299,9 V

Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).

Kampinis greitis ir plotas

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
A = 0,0225 m²

Elektrovaros amplitudė

E₀ = NBAω = 200·0,3·0,0225·314,2 = 424,1 V

Efektinė vertė

Erms = 424,1/√2 = 299,9 V

Atsakymas

Erms = 299,9 V
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: |Z| = 29,97 Ω

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyvioji varža

XL = ωL = 2π·50·0,1 = 31,42 Ω

Šakų srovės

Abi šakos prijungtos tiesiai prie maitinimo, todėl kiekvienai tenka visa įtampa V.

IR = V/R = 120/100 = 1,2 A
IX = V/XL = 120/31,42 = 3,82 A

Bendra srovė

Rezistoriaus srovė sutampa faze su V, o reaktyvioji srovė pasislinkusi 90°, todėl jos sudedamos kaip stačiojo trikampio statiniai.

I = √(IR² + IX²) = √(1,2² + 3,82²) = 4,004 A

Pilnutinė varža

|Z| = V/I = 120/4,004 = 29,97 Ω

Atsakymas

|Z| = 29,97 Ω
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: Q = 9,225

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Rezonansinis dažnis

f0 = 1/(2π·√(0,001·0,47·10⁻⁶)) = 7341 Hz

Kokybės faktorius

Q palygina reaktyviąją varžą rezonanso metu su varža: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,001/(0,47·10⁻⁶)) = 9,225

Atsakymas

Q = 9,225

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism