Kulono dėsnis ir elektrinis laukas
- Kulono dėsnis
- F = k·|q1q2|/r²
- Taškinio krūvio laukas
- E = k·|q|/r²
- Konstanta
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Jėga, veikianti krūvį
- F = q·E
Fizika 2: elektra ir magnetizmas: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai
- Nuosekliai sujungti rezistoriai
- Req = R1 + R2 + …
- Lygiagrečiai sujungti rezistoriai
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Du lygiagrečiai
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Omo dėsnis
- V = I·R
- Galia
- P = V·I = I²R = V²/R
Metodas
- Pradėkite nuo grandinės galo, esančio toliausiai nuo gnybtų.
- Nuosekliai sujungtus rezistorius sudėkite, o lygiagrečius junkite pagal 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Po kiekvieno žingsnio perbraižykite grandinę.
- Kartokite, kol tarp gnybtų liks vienas rezistorius.
RC ir RL pereinamieji procesai
- Laiko konstanta
- τ = RC | τ = L/R
- Atsakas
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Kondensatorius esant nuolatinei srovei
- atvira grandinė; vC negali kisti šuoliu
- Ritė esant nuolatinei srovei
- trumpasis jungimas; iL negali kisti šuoliu
- Nusistovėjęs režimas
- t ≈ 5τ
Metodas
- Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
- Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
- Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
- Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Magnetiniai laukai ir indukcija
- Ilgas tiesus laidas
- B = μ0I/(2πr)
- Plokščios ritės centras
- B = μ0NI/(2R)
- Ilgas solenoidas
- B = μ0nI, n = N/L
- Konstanta
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Jėga, veikianti laidą
- F = BIL·sin θ
- Jėga, veikianti krūvį
- F = |q|vB·sin θ
- Judėjimas apskritimu
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Lygiagretūs laidai
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Srautas
- Φ = BA·cos θ
- Faradėjaus dėsnis
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Judantis strypas
- ε = BLv
- Generatorius
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induktyvumas
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Abipusis induktyvumas
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Greičio selektorius ir spektrometras
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Metodas
- Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
- Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
- Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
- Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.
Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai
- Pilnutinės varžos
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Kampinis dažnis
- ω = 2πf
- Modulis ir kampas
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Omo dėsnis fazoriams
- V = I·Z
Metodas
- Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
- Raskite kiekvieną reaktansą: XL = ωL ir XC = 1/(ωC).
- Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
- Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.
2Uždaviniai
1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasVidutinis
+3 µC ir +8 µC krūviai yra 20 cm atstumu vienas nuo kito. Kokiu atstumu x nuo +3 µC krūvio, tiesėje tarp jų, elektrinio lauko stipris lygus nuliui?
q1 = +3 µCq2 = +8 µCd = 20 cm
x = cm
2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasSunkus
+4 µC ir −4 µC krūviai yra 20 cm atstumu vienas nuo kito. Taškas P yra 10 cm nuo vidurio taško tarp jų, ant juos jungiančios atkarpos vidurio statmens. Raskite elektrinio lauko stiprio didumą E taške P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +4 µCq2 = −4 µCd = 20 cmh = 10 cm
E = N/C
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiVidutinis
Raskite srovę IR2 per R2.
V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 ΩR4 = 6 Ω
IR2 = A
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSunkus
Raskite srovę IR2 per R2.
V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩR4 = 4 ΩR5 = 12 ΩR6 = 3 Ω
IR2 = A
5.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis
Rite teka pastovi 2 A srovė. Momentu t = 0 jungiklis uždaro kontūrą per R, o šaltinis atjungiamas, todėl ritės srovė slopsta per R. Raskite srovę i momentu t = 1 ms.
i(0) = 2 AR = 68 ΩL = 33 mHt = 1 ms
i = A
6.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus
Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 20 V su pažymėtu poliškumu. Raskite kondensatoriaus įtampą vC momentu t = 75 ms.
Vs = 15 VR = 3,3 kΩC = 22 µFvC(0) = 20 Vt = 75 ms
vC = V
7.Magnetiniai laukai ir indukcijaVidutinis
20 vijų ritės plotas yra 80 cm². Ritė apverčiama (pasukama 180°) tolygiame 0,3 T lauke, statmenam jos plokštumai, per 100 ms. Raskite vidutinę indukuotą elektrovarą ε.
N = 20A = 80 cm²B = 0,3 TΔt = 100 ms
ε = mV
8.Magnetiniai laukai ir indukcijaSunkus
50 vijų, 10 cm × 20 cm ritė sukasi tolygiame 0,5 T lauke apie ašį, statmeną laukui. Kokiu greičiu n (apsisukimais per minutę) ji turi suktis, kad efektinė elektrovara būtų 33,32 V?
N = 50A = 10 cm × 20 cmB = 0,5 TErms = 33,32 V
n = rpm
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis
Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 230 V (efektinė), 100 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.
V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF
I = A
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus
Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 230 V (efektinė), 100 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.
V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 100 µF
I = A
3Tirpalai
1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas
Atsakymas: x = 7,596 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Vienodi laukai
3/x² = 8/(20 − x)²
(20 − x)/x = √(8/3) = 1,633
Padėtis
x = 20/(1 + 1,633) = 7,596 cm
Atsakymas
x = 7,596 cm
Nulinis taškas visada arčiau mažesniojo krūvio.
2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas
Atsakymas: E = 2,543 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Vieno krūvio atstumas ir laukas
r = √(10² + 10²) = 14,14 cm
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,1414² = 1,798 × 10⁶ N/C
Dedamosios
Dedamosios išilgai statmens panaikina viena kitą.
E = 2·E1·(a/r) = 2·1,798 × 10⁶·0,7071 = 2,543 × 10⁶ N/C
Atsakymas
E = 2,543 × 10⁶ N/C
Laukas nukreiptas lygiagrečiai tiesei nuo teigiamo krūvio link neigiamo.
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai
Atsakymas: IR2 = 0,75 A
Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.
Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo
Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.
R3 + R4 = 4 + 6 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 15·10/(15+10) = 6 Ω
Req = R1 + 6 = 10 + 6 = 16 Ω
Šaltinio srovė
Šaltinis mato tik Req, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.
IR1 = V1/Req = 30/16 = 1,875 A
Srovė per R₂
Atimkite įtampos kritimą ant R₁ ir gausite mazgo A įtampą, kuri yra įtampa ant R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 1,875·10 = 11,25 V
IR2 = VA/R2 = 11,25/15 = 0,75 A
Atsakymas
IR2 = 0,75 A
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai
Atsakymas: IR2 = 0,5016 A
Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.
Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo
Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.
R5 + R6 = 12 + 3 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 3,158 Ω
R3 + 3,158 = 8,158 Ω
R2 ∥ 8,158 = 4,039 Ω
Req = R1 + 4,039 = 2 + 4,039 = 6,039 Ω
Šaltinio srovė
Šaltinis mato tik Req, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.
IR1 = V1/Req = 6/6,039 = 0,9935 A
Srovė per R₂
Atimkite įtampos kritimą ant R₁ ir gausite mazgo A įtampą, kuri yra įtampa ant R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,9935·2 = 4,013 V
IR2 = VA/R2 = 4,013/8 = 0,5016 A
Atsakymas
IR2 = 0,5016 A
5.RC ir RL pereinamieji procesai
Atsakymas: i = 0,2548 A
Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.
Laiko konstanta
τ = L/R = 33 mH / 68 Ω = 0,4853 ms
Srovės slopimas
i(t) = 2·e−1/0,4853 = 0,2548 A
Atsakymas
i = 0,2548 A
6.RC ir RL pereinamieji procesai
Atsakymas: vC = 16,78 V
Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.
Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta
Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.
vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 22 µF = 72,6 ms
vC(t) = 15 + (20 − 15)·e−t/τ
Įtampa duotuoju momentu
vC(75) = 15 + (5)·e−75/72,6 = 16,78 V
Atsakymas
vC = 16,78 V
7.Magnetiniai laukai ir indukcija
Atsakymas: ε = 960 mV
Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).
Srauto pokytis vienai vijai
ΔΦ = 2·0,3·0,008 = 0,0048 Wb
Vidutinė elektrovara
ε = NΔΦ/Δt = 20·0,0048/0,1 = 0,96 V
Atsakymas
ε = 960 mV
8.Magnetiniai laukai ir indukcija
Atsakymas: n = 900 rpm
Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).
Elektrovaros amplitudė
E₀ = √2·Erms = 47,12 V
Kampinis greitis
ω = E₀/(NBA) = 47,12/(50·0,5·0,02) = 94,24 rad/s
Apsisukimai per minutę
n = 60·94,24/(2π) = 900 rpm
Atsakymas
n = 900 rpm
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai
Atsakymas: I = 0,7024 A
Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.
Reaktyviosios varžos
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,02 = 12,57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω
Pilnutinė varža
Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−326,1)²) = 327,4 Ω
Srovė
Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.
I = V/|Z| = 230/327,4 = 0,7024 A
Atsakymas
I = 0,7024 A
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai
Atsakymas: I = 3,02 A
Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.
Reaktyviosios varžos
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω
Pilnutinė varža
Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (46,92)²) = 76,17 Ω
Srovė
Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.
I = V/|Z| = 230/76,17 = 3,02 A
Atsakymas
I = 3,02 A
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism