Fizika 2: elektra ir magnetizmas: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Kulono dėsnis
F = k·|q1q2|/r²
Taškinio krūvio laukas
E = k·|q|/r²
Konstanta
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Jėga, veikianti krūvį
F = q·E

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Nuosekliai sujungti rezistoriai
Req = R1 + R2 + …
Lygiagrečiai sujungti rezistoriai
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Du lygiagrečiai
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Omo dėsnis
V = I·R
Galia
P = V·I = I²R = V²/R

Metodas

  1. Pradėkite nuo grandinės galo, esančio toliausiai nuo gnybtų.
  2. Nuosekliai sujungtus rezistorius sudėkite, o lygiagrečius junkite pagal 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po kiekvieno žingsnio perbraižykite grandinę.
  4. Kartokite, kol tarp gnybtų liks vienas rezistorius.

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta
τ = RC | τ = L/R
Atsakas
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei
atvira grandinė; vC negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei
trumpasis jungimas; iL negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas
t ≈ 5τ

Metodas

  1. Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
  2. Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
  3. Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
  4. Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetiniai laukai ir indukcija

Ilgas tiesus laidas
B = μ0I/(2πr)
Plokščios ritės centras
B = μ0NI/(2R)
Ilgas solenoidas
B = μ0nI, n = N/L
Konstanta
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Jėga, veikianti laidą
F = BIL·sin θ
Jėga, veikianti krūvį
F = |q|vB·sin θ
Judėjimas apskritimu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Lygiagretūs laidai
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Srautas
Φ = BA·cos θ
Faradėjaus dėsnis
ε = −N·ΔΦ/Δt
Judantis strypas
ε = BLv
Generatorius
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktyvumas
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Abipusis induktyvumas
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Greičio selektorius ir spektrometras
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodas

  1. Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
  2. Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
  3. Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
  4. Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kampinis dažnis
ω = 2πf
Modulis ir kampas
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams
V = I·Z

Metodas

  1. Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
  2. Raskite kiekvieną reaktansą: XL = ωL ir XC = 1/(ωC).
  3. Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
  4. Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

2Uždaviniai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasVidutinis
++8 µC−−3 µCr = 10 cm

Du vienodi maži metaliniai rutuliukai turi +8 µC ir −3 µC krūvius. Jie suliečiami, o paskui vėl padedami 10 cm atstumu. Raskite jėgos tarp jų didumą F dabar. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +8 µCq2 = −3 µCr = 10 cm
F = N
2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasSunkus
++P2 × 3 cm10 cm+10 µC+10 µC

+10 µC ir +10 µC krūviai yra 6 cm atstumu vienas nuo kito. Taškas P yra 10 cm nuo vidurio taško tarp jų, ant juos jungiančios atkarpos vidurio statmens. Raskite elektrinio lauko stiprio didumą E taške P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +10 µCq2 = +10 µCd = 6 cmh = 10 cm
E = N/C
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiVidutinis
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩIR2​AR4​5 ΩB

Raskite srovę IR2 per R2.

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSunkus
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​25 ΩAR4​6 ΩBR6​2 Ω

Raskite ekvivalentinę varžą Req, kurią mato šaltinis V1.

V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 25 ΩR3 = 10 ΩR4 = 6 ΩR5 = 4 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
5.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis
+−Vs​12 Vt = 0R1​ = 10 kΩR2​ = 4,7 kΩC220 µF+−vC​

Šaltinis Vₛ per R₁ krauna kondensatorių, o R₂ prijungtas lygiagrečiai su C. Kondensatorius neįkrautas, kai jungiklis užsidaro momentu t = 0. Raskite grandinės laiko konstantą τ po jungiklio užsidarymo.

Vs = 12 VR1 = 10 kΩR2 = 4,7 kΩC = 220 µF
τ = ms
6.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus
+−Vs​9 Vt = 0R = 6,8 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 30 V su pažymėtu poliškumu. Raskite kondensatoriaus įtampą vC momentu t = 75 ms.

Vs = 9 VR = 6,8 kΩC = 10 µFvC(0) = 30 Vt = 75 ms
vC = V
7.Magnetiniai laukai ir indukcijaVidutinis
nBA = 20 cm², N = 10B = 0,2 T

10 vijų ritės plotas yra 20 cm². Ritė apverčiama (pasukama 180°) tolygiame 0,2 T lauke, statmenam jos plokštumai, per 10 ms. Raskite vidutinę indukuotą elektrovarą ε.

N = 10A = 20 cm²B = 0,2 TΔt = 10 ms
ε = mV
8.Magnetiniai laukai ir indukcijaSunkus
Bn = 3000 rpm20 cm × 5 cmN = 100B = 0,1 T

100 vijų, 20 cm × 5 cm ritė sukasi 3000 aps./min. greičiu tolygiame 0,1 T lauke apie ašį, statmeną laukui. Raskite elektrovaros amplitudę E0.

N = 100A = 20 cm × 5 cmB = 0,1 Tn = 3000 rpm
E0 = V
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis
10 V200 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 100 µFI

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 10 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 100 µF
I = A
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus
12 Vf0​R = 20 ΩL = 200 mHC = 0,22 µF

Nuosekli RLC grandinė maitinama 12 V (efektinė) šaltiniu, kurio dažnis nustatytas lygus grandinės rezonansiniam dažniui. Raskite efektinę įtampą VL ant ritės.

V = 12 V (rms)R = 20 ΩL = 200 mHC = 0,22 µF
VL = V

3Tirpalai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: F = 5,619 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Krūvis suliečius

q′ = (8 + −3)/2 = 2,5 µC

Nauja jėga

F = 8,99 × 10⁹·(2,5 × 10⁻⁶)²/0,1² = 5,619 N

Atsakymas

F = 5,619 N

Dabar abiejų rutuliukų krūvių ženklas tas pats, todėl jie stumia vienas kitą.

2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: E = 1,58 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Vieno krūvio atstumas ir laukas

r = √(3² + 10²) = 10,44 cm
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,1044² = 8,248 × 10⁶ N/C

Dedamosios

Dedamosios išilgai krūvius jungiančios tiesės panaikina viena kitą.

E = 2·E1·(h/r) = 2·8,248 × 10⁶·0,9578 = 1,58 × 10⁷ N/C

Atsakymas

E = 1,58 × 10⁷ N/C

Laukas nukreiptas išilgai statmens, tolyn nuo krūvių.

3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: IR2 = 0,6 A

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAR4​5 ΩB

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R3 + R4 = 10 + 5 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 10·15/(10+15) = 6 Ω
Req = R1 + 6 = 6 + 6 = 12 Ω

Šaltinio srovė

Šaltinis mato tik Req, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.

IR1 = V1/Req = 12/12 = 1 A

Srovė per R₂

Atimkite įtampos kritimą ant R₁ ir gausite mazgo A įtampą, kuri yra įtampa ant R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1·6 = 6 V
IR2 = VA/R2 = 6/10 = 0,6 A

Atsakymas

IR2 = 0,6 A
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: Req = 13,55 Ω

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

R1​ = 5 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​25 ΩAR4​6 ΩBR6​2 Ω

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R5 + R6 = 4 + 2 = 6 Ω
R4 ∥ 6 = 3 Ω
R3 + 3 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 8,553 Ω
Req = R1 + 8,553 = 5 + 8,553 = 13,55 Ω

Atsakymas

Req = 13,55 Ω
5.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: τ = 703,4 ms

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Kondensatoriaus matomas Tevenino ekvivalentas

Šaltinį trumpai sujunkite, kad rastumėte Rth; kondensatorių atjunkite, kad rastumėte įtampą, iki kurios jis nusistovės.

Rth = R1 ∥ R2 = 10·4,7/(10 + 4,7) = 3,197 kΩ
vC(∞) = 12·4,7/(10 + 4,7) = 3,837 V

Laiko konstanta

τ = Rth·C = 3,197·220 = 703,4 ms

Atsakymas

τ = 703,4 ms
6.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: vC = 15,97 V

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 10 µF = 68 ms
vC(t) = 9 + (30 − 9)·e−t/τ

Įtampa duotuoju momentu

vC(75) = 9 + (21)·e−75/68 = 15,97 V

Atsakymas

vC = 15,97 V
7.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: ε = 800 mV

Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).

Srauto pokytis vienai vijai

ΔΦ = 2·0,2·0,002 = 0,0008 Wb

Vidutinė elektrovara

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,0008/0,01 = 0,8 V

Atsakymas

ε = 800 mV
8.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: E0 = 31,42 V

Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).

Kampinis greitis ir plotas

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
A = 0,01 m²

Elektrovaros amplitudė

E₀ = NBAω = 100·0,1·0,01·314,2 = 31,42 V

Atsakymas

E0 = 31,42 V
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 0,5032 A

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (17,17)²) = 19,87 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 10/19,87 = 0,5032 A

Atsakymas

I = 0,5032 A
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: VL = 572,1 V

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Rezonansas

Rezonanso metu reaktyviosios varžos susiprastina, todėl pilnutinė varža lygi tik R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·0,22·10⁻⁶) = 4767 rad/s
I = V/R = 12/20 = 0,6 A

Įtampa ant ritės

XL = ω₀L = 4767·0,2 = 953,5 Ω
VL = I·XL = 0,6·953,5 = 572,1 V

Atsakymas

VL = 572,1 V

Tai Q = 47,67 kartų didesnė už maitinimo įtampą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism