Fizika 2: elektra ir magnetizmas: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Kulono dėsnis: F = k·|q₁q₂|/r²
Taškinio krūvio laukas: E = k·|q|/r²
Konstanta: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Jėga, veikianti krūvį: F = q·E

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Nuosekliai sujungti rezistoriai: R_eq = R₁ + R₂ + …
Lygiagrečiai sujungti rezistoriai: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Du lygiagrečiai: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Omo dėsnis: V = I·R
Galia: P = V·I = I²R = V²/R

Metodas

Pradėkite nuo grandinės galo, esančio toliausiai nuo gnybtų.
Nuosekliai sujungtus rezistorius sudėkite, o lygiagrečius junkite pagal 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po kiekvieno žingsnio perbraižykite grandinę.
Kartokite, kol tarp gnybtų liks vienas rezistorius.

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta: τ = RC | τ = L/R
Atsakas: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei: atvira grandinė; v_C negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei: trumpasis jungimas; i_L negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas: t ≈ 5τ

Metodas

Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetiniai laukai ir indukcija

Ilgas tiesus laidas: B = μ₀I/(2πr)
Plokščios ritės centras: B = μ₀NI/(2R)
Ilgas solenoidas: B = μ₀nI, n = N/L
Konstanta: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Jėga, veikianti laidą: F = BIL·sin θ
Jėga, veikianti krūvį: F = |q|vB·sin θ
Judėjimas apskritimu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Lygiagretūs laidai: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Srautas: Φ = BA·cos θ
Faradėjaus dėsnis: ε = −N·ΔΦ/Δt
Judantis strypas: ε = BLv
Generatorius: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktyvumas: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Abipusis induktyvumas: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Greičio selektorius ir spektrometras: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodas

Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

2Uždaviniai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasVidutinis

+2 µC ir +5 µC krūviai yra 80 cm atstumu vienas nuo kito. Kokiu atstumu x nuo +2 µC krūvio, tiesėje tarp jų, elektrinio lauko stipris lygus nuliui?

q₁ = +2 µCq₂ = +5 µCd = 80 cm

x = cm

2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasSunkus

Du vienodi maži rutuliukai, kiekvieno masė 5 g, kabo iš to paties taško ant 100 cm ilgio izoliuojančių siūlų. Jiems suteikiami vienodi krūviai, ir kiekvienas siūlas nusistovi 20° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kiekvieno rutuliuko krūvį q nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 100 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiVidutinis

Raskite srovę I_R2 per R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSunkus

Raskite šaltinio tiekiamą srovę I_R1, tekančią per R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis

Rite teka pastovi 2 A srovė. Momentu t = 0 jungiklis uždaro kontūrą per R, o šaltinis atjungiamas, todėl ritės srovė slopsta per R. Raskite srovę i momentu t = 15 ms.

i(0) = 2 AR = 20 ΩL = 150 mHt = 15 ms

i = A

6.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus

Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 2 V su pažymėtu poliškumu. Raskite kondensatoriaus įtampą v_C momentu t = 200 ms.

V_s = 24 VR = 6,8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 2 Vt = 200 ms

v_C = V

7.Magnetiniai laukai ir indukcijaVidutinis

Apskritas kontūras yra tolygiame magnetiniame lauke, nukreiptame iš lapo. Lauko stipris didėja. Spustelėkite indukuotos srovės kontūre kryptį, matomą brėžinyje.

B: iš lapodB/dt > 0

1pagal laikrodžio rodyklę
2prieš laikrodžio rodyklę

8.Magnetiniai laukai ir indukcijaSunkus

Ilgas oro šerdies solenoidas turi 400 vijų, 10 cm ilgį ir 1 cm skersmenį. Raskite jo magnetiniame lauke sukauptą energiją W, kai juo teka 3 A srovė.

N = 400l = 10 cm⌀ = 1 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Rezistorius ir kondensatorius lygiagrečiai prijungti prie 50 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos modulį |Z|.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 24 V (efektinė), 1000 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 1 µF

I = A

3Tirpalai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: x = 30,99 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Vienodi laukai

2/x² = 5/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(5/2) = 1,581

Padėtis

x = 80/(1 + 1,581) = 30,99 cm

Atsakymas

x = 30,99 cm

Nulinis taškas visada arčiau mažesniojo krūvio.

2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: q = 963,9 nC

Elektrinė jėga iš pusiausvyros

Įtempimo jėgos horizontalioji dalis atsveria F, vertikalioji – m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 20° = 0,01785 N

Atstumas

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 20° = 0,684 m

Krūvis

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,684·√(0,01785/8,99 × 10⁹) = 9,639 × 10⁻⁷ C = 963,9 nC

Atsakymas

q = 963,9 nC

3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: I_R2 = 0,4651 A

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R₃ + R₄ = 2 + 6 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 15·8/(15+8) = 5,217 Ω

R_eq = R₁ + 5,217 = 6 + 5,217 = 11,22 Ω

Šaltinio srovė

Šaltinis mato tik R_eq, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/11,22 = 1,337 A

Srovė per R₂

Atimkite įtampos kritimą ant R₁ ir gausite mazgo A įtampą, kuri yra įtampa ant R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,337·6 = 6,977 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,977/15 = 0,4651 A

Atsakymas

I_R2 = 0,4651 A

4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: I_R1 = 6,426 A

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

R₅ + R₆ = 12 + 30 = 42 Ω

R₄ ∥ 42 = 8,077 Ω

R₃ + 8,077 = 10,08 Ω

R₂ ∥ 10,08 = 1,669 Ω

R_eq = R₁ + 1,669 = 3 + 1,669 = 4,669 Ω

Šaltinio srovė

Šaltinis mato tik R_eq, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/4,669 = 6,426 A

Atsakymas

I_R1 = 6,426 A

5.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: i = 0,2707 A

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta

τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7,5 ms

Srovės slopimas

i(t) = 2·e^−15/7,5 = 0,2707 A

Atsakymas

i = 0,2707 A

6.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: v_C = 12,23 V

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms

v_C(t) = 24 + (2 − 24)·e^−t/τ

Įtampa duotuoju momentu

v_C(200) = 24 + (−22)·e^−200/319,6 = 12,23 V

Atsakymas

v_C = 12,23 V

7.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: pagal laikrodžio rodyklę

Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).

Srauto pokytis

Srautas iš lapo didėja arba srautas į lapą mažėja.

Indukuotos srovės laukas

Indukuota srovė priešinasi pokyčiui.

Indukuotas laukas kontūro viduje: į lapą.

Srovės kryptis

Dešinės rankos suėmimo taisyklė: srovė prieš laikrodžio rodyklę kontūro viduje sukuria lauką iš lapo.

pagal laikrodžio rodyklę

Atsakymas

pagal laikrodžio rodyklę

8.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: W = 710,6 µJ

Savaiminės indukcijos induktyvumas

L = μ₀N²A/l = 157,9 µH

Sukaupta energija

W = ½LI² = ½·0,0001579·3² = 0,0007106 J = 710,6 µJ

Atsakymas

W = 710,6 µJ

9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: |Z| = 17,5 Ω

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyvioji varža

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Šakų srovės

Abi šakos prijungtos tiesiai prie maitinimo, todėl kiekvienai tenka visa įtampa V.

I_R = V/R = 50/20 = 2,5 A

I_X = V/X_C = 50/36,17 = 1,382 A

Bendra srovė

Rezistoriaus srovė sutampa faze su V, o reaktyvioji srovė pasislinkusi 90°, todėl jos sudedamos kaip stačiojo trikampio statiniai.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,5² + 1,382²) = 2,857 A

Pilnutinė varža

|Z| = V/I = 50/2,857 = 17,5 Ω

Atsakymas

|Z| = 17,5 Ω

10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 0,1474 A

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (155)²) = 162,9 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 24/162,9 = 0,1474 A

Atsakymas

I = 0,1474 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism