Fizika 2: elektra ir magnetizmas: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Kulono dėsnis
F = k·|q1q2|/r²
Taškinio krūvio laukas
E = k·|q|/r²
Konstanta
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Jėga, veikianti krūvį
F = q·E

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Nuosekliai sujungti rezistoriai
Req = R1 + R2 + …
Lygiagrečiai sujungti rezistoriai
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Du lygiagrečiai
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Omo dėsnis
V = I·R
Galia
P = V·I = I²R = V²/R

Metodas

  1. Pradėkite nuo grandinės galo, esančio toliausiai nuo gnybtų.
  2. Nuosekliai sujungtus rezistorius sudėkite, o lygiagrečius junkite pagal 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po kiekvieno žingsnio perbraižykite grandinę.
  4. Kartokite, kol tarp gnybtų liks vienas rezistorius.

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta
τ = RC | τ = L/R
Atsakas
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei
atvira grandinė; vC negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei
trumpasis jungimas; iL negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas
t ≈ 5τ

Metodas

  1. Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
  2. Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
  3. Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
  4. Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetiniai laukai ir indukcija

Ilgas tiesus laidas
B = μ0I/(2πr)
Plokščios ritės centras
B = μ0NI/(2R)
Ilgas solenoidas
B = μ0nI, n = N/L
Konstanta
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Jėga, veikianti laidą
F = BIL·sin θ
Jėga, veikianti krūvį
F = |q|vB·sin θ
Judėjimas apskritimu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Lygiagretūs laidai
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Srautas
Φ = BA·cos θ
Faradėjaus dėsnis
ε = −N·ΔΦ/Δt
Judantis strypas
ε = BLv
Generatorius
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktyvumas
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Abipusis induktyvumas
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Greičio selektorius ir spektrometras
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodas

  1. Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
  2. Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
  3. Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
  4. Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kampinis dažnis
ω = 2πf
Modulis ir kampas
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams
V = I·Z

Metodas

  1. Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
  2. Raskite kiekvieną reaktansą: XL = ωL ir XC = 1/(ωC).
  3. Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
  4. Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

2Uždaviniai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasVidutinis
−−1 µC−−2 µC−−6 µC6 cm + 4 cm

Trys taškiniai krūviai yra vienoje tiesėje: −1 µC kairėje, −6 µC dešinėje 10 cm atstumu ir −2 µC tarp jų, 6 cm nuo kairiojo krūvio. Raskite viduriniam krūviui veikiančios atstojamosios elektrinės jėgos didumą F. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −1 µCqR = −6 µCqM = −2 µCrL = 6 cmrR = 4 cm
F = N
2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasSunkus
+ + + + + +− − − − − −e⁻2 × 10⁷ m/s6 cmE = 2700 N/C

Elektronas įlekia į vienalytį lauką tarp dviejų lygiagrečių plokščių, judėdamas lygiagrečiai joms 2 × 10⁷ m/s greičiu. Plokštės yra 6 cm ilgio, o lauko stipris tarp jų 2700 N/C. Elektrono krūvis 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masė 9,109 × 10⁻³¹ kg; sunkio jėgos nepaisykite. Kiek y jis nukrypsta į šoną, išlėkdamas iš tarpo tarp plokščių? Atsakymą pateikite mm.

v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 2700 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiVidutinis
R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​20 ΩB

Raskite ekvivalentinę varžą Req, kurią mato šaltinis V1.

V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩR4 = 20 Ω
Req = Ω
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSunkus
R1​ = 5 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAR4​12 ΩBR6​8 Ω

Raskite ekvivalentinę varžą Req, kurią mato šaltinis V1.

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 ΩR5 = 25 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis
+−Vs​20 Vt = 0R1​ = 10 kΩR2​ = 1 kΩC22 µF+−vC​

Šaltinis Vₛ per R₁ krauna kondensatorių, o R₂ prijungtas lygiagrečiai su C. Kondensatorius neįkrautas, kai jungiklis užsidaro momentu t = 0. Raskite kondensatoriaus įtampą vC momentu t = 25 ms.

Vs = 20 VR1 = 10 kΩR2 = 1 kΩC = 22 µFt = 25 ms
vC = V
6.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus
+−Vs​15 Vt = 0R = 6,8 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 2 V su pažymėtu poliškumu. Raskite kondensatoriaus įtampą vC momentu t = 150 ms.

Vs = 15 VR = 6,8 kΩC = 10 µFvC(0) = 2 Vt = 150 ms
vC = V
7.Magnetiniai laukai ir indukcijaVidutinis
R = 8 Ωv = 6 m/sL = 50 cmB = 1 T

50 cm ilgio metalinis strypas slysta 6 m/s greičiu dviem bėgeliais tolygiame 1 T lauke, nukreiptame į lapą. Raskite tarp jo galų indukuotą elektrovarą ε.

B = 1 TL = 50 cmv = 6 m/s
ε = V
8.Magnetiniai laukai ir indukcijaSunkus
l = 20 cmN = 300, ⌀ 1 cm

Ilgas oro šerdies solenoidas turi 300 vijų, 20 cm ilgį ir 1 cm skersmenį. Raskite jo savaiminės indukcijos induktyvumą L.

N = 300l = 20 cm⌀ = 1 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis
12 V100 HzR = 30 ΩL = 20 mHI

Rezistorius ir ritė lygiagrečiai prijungti prie 12 V (efektinė), 100 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 20 mH
I = A
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus
100 V60 HzR1​ = 40 ΩR2​ = 150 ΩC = 10 µF

Rezistorius R1 nuosekliai sujungtas su lygiagrečiu R2 ir kondensatoriaus C junginiu ir prijungtas prie 100 V (efektinė), 60 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos modulį |Z|.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR1 = 40 ΩR2 = 150 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω

3Tirpalai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: F = 62,43 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kiekvieno krūvio jėga

Teigiama kryptis į dešinę.

FL = +k·1·2 × 10⁻¹²/0,06² = 4,994 N
FR = −k·6·2 × 10⁻¹²/0,04² = −67,42 N

Atstojamoji jėga

F = 4,994 + (−67,42) = −62,43 N → |F| = 62,43 N

Atsakymas

F = 62,43 N

Atstojamoji jėga nukreipta į kairę.

2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: y = 2,137 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Laikas tarp plokščių

t = L/v₀ = 0,06/2 × 10⁷ = 3 × 10⁻⁹ s

Pagreitis į šoną

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2700/9,109 × 10⁻³¹ = 4,748 × 10¹⁴ m/s²

Įlinkis

y = ½·a·t² = ½·4,748 × 10¹⁴·(3 × 10⁻⁹)² = 0,002137 m = 2,137 mm

Atsakymas

y = 2,137 mm

Elektronas stumiamas link teigiamos plokštės, prieš lauko kryptį.

3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: Req = 11,22 Ω

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​20 ΩB

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R3 + R4 = 20 + 20 = 40 Ω
R2 ∥ 40 = 6·40/(6+40) = 5,217 Ω
Req = R1 + 5,217 = 6 + 5,217 = 11,22 Ω

Atsakymas

Req = 11,22 Ω
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: Req = 12,92 Ω

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

R1​ = 5 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAR4​12 ΩBR6​8 Ω

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R5 + R6 = 25 + 8 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 8,8 Ω
R3 + 8,8 = 16,8 Ω
R2 ∥ 16,8 = 7,925 Ω
Req = R1 + 7,925 = 5 + 7,925 = 12,92 Ω

Atsakymas

Req = 12,92 Ω
5.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: vC = 1,297 V

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Kondensatoriaus matomas Tevenino ekvivalentas

Šaltinį trumpai sujunkite, kad rastumėte Rth; kondensatorių atjunkite, kad rastumėte įtampą, iki kurios jis nusistovės.

Rth = R1 ∥ R2 = 10·1/(10 + 1) = 0,9091 kΩ
vC(∞) = 20·1/(10 + 1) = 1,818 V

Laiko konstanta

τ = Rth·C = 0,9091·22 = 20 ms

Įkrovimo kreivė

vC(t) = 1,818·(1 − e−25/20) = 1,297 V

Atsakymas

vC = 1,297 V
6.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: vC = 13,57 V

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 10 µF = 68 ms
vC(t) = 15 + (2 − 15)·e−t/τ

Įtampa duotuoju momentu

vC(150) = 15 + (−13)·e−150/68 = 13,57 V

Atsakymas

vC = 13,57 V
7.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: ε = 3 V

Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).

Judėjimo elektrovara

ε = BLv = 1·0,5·6 = 3 V

Atsakymas

ε = 3 V
8.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: L = 44,41 µH

Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).

Skerspjūvis

A = π·(0,005)² = 7,854 × 10⁻⁵ m²

Savaiminės indukcijos induktyvumas

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·300²·7,854 × 10⁻⁵/0,2 = 4,441 × 10⁻⁵ H = 44,41 µH

Atsakymas

L = 44,41 µH
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 1,035 A

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyvioji varža

XL = ωL = 2π·100·0,02 = 12,57 Ω

Šakų srovės

Abi šakos prijungtos tiesiai prie maitinimo, todėl kiekvienai tenka visa įtampa V.

IR = V/R = 12/30 = 0,4 A
IX = V/XL = 12/12,57 = 0,9549 A

Bendra srovė

Rezistoriaus srovė sutampa faze su V, o reaktyvioji srovė pasislinkusi 90°, todėl jos sudedamos kaip stačiojo trikampio statiniai.

I = √(IR² + IX²) = √(0,4² + 0,9549²) = 1,035 A

Atsakymas

I = 1,035 A
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: |Z| = 166,6 Ω

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyvioji varža

XC = 1/(2π·60·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Lygiagretus junginys

Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš jungtinio kompleksinio skaičiaus, kad Zp išskaidytumėte į realiąją ir menamąją dalis.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 113,7 − j64,27 Ω

Bendra pilnutinė varža

Z = 40 + 113,7 − j64,27 = 153,7 − j64,27 Ω
|Z| = √(153,7² + 64,27²) = 166,6 Ω

Atsakymas

|Z| = 166,6 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism