Fizika 2: elektra ir magnetizmas: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Kulono dėsnis
F = k·|q1q2|/r²
Taškinio krūvio laukas
E = k·|q|/r²
Konstanta
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Jėga, veikianti krūvį
F = q·E

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Nuosekliai sujungti rezistoriai
Req = R1 + R2 + …
Lygiagrečiai sujungti rezistoriai
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Du lygiagrečiai
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Omo dėsnis
V = I·R
Galia
P = V·I = I²R = V²/R

Metodas

  1. Pradėkite nuo grandinės galo, esančio toliausiai nuo gnybtų.
  2. Nuosekliai sujungtus rezistorius sudėkite, o lygiagrečius junkite pagal 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po kiekvieno žingsnio perbraižykite grandinę.
  4. Kartokite, kol tarp gnybtų liks vienas rezistorius.

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta
τ = RC | τ = L/R
Atsakas
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei
atvira grandinė; vC negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei
trumpasis jungimas; iL negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas
t ≈ 5τ

Metodas

  1. Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
  2. Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
  3. Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
  4. Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetiniai laukai ir indukcija

Ilgas tiesus laidas
B = μ0I/(2πr)
Plokščios ritės centras
B = μ0NI/(2R)
Ilgas solenoidas
B = μ0nI, n = N/L
Konstanta
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Jėga, veikianti laidą
F = BIL·sin θ
Jėga, veikianti krūvį
F = |q|vB·sin θ
Judėjimas apskritimu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Lygiagretūs laidai
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Srautas
Φ = BA·cos θ
Faradėjaus dėsnis
ε = −N·ΔΦ/Δt
Judantis strypas
ε = BLv
Generatorius
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktyvumas
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Abipusis induktyvumas
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Greičio selektorius ir spektrometras
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodas

  1. Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
  2. Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
  3. Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
  4. Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kampinis dažnis
ω = 2πf
Modulis ir kampas
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams
V = I·Z

Metodas

  1. Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
  2. Raskite kiekvieną reaktansą: XL = ωL ir XC = 1/(ωC).
  3. Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
  4. Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

2Uždaviniai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasVidutinis
++3 µC++6 µC−−6 µC30 cm + 10 cm

Trys taškiniai krūviai yra vienoje tiesėje: +3 µC kairėje, −6 µC dešinėje 40 cm atstumu ir +6 µC tarp jų, 30 cm nuo kairiojo krūvio. Raskite viduriniam krūviui veikiančios atstojamosios elektrinės jėgos didumą F. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +3 µCqR = −6 µCqM = +6 µCrL = 30 cmrR = 10 cm
F = N
2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasSunkus
3 cm10 cm+q1​ = +5 µC+q3​ = +6 µC+q2​ = +4 µC

Trys teigiami taškiniai krūviai yra stačiojo trikampio viršūnėse: q₃ = 6 µC yra stačiojo kampo viršūnėje, q₁ = 5 µC – 3 cm nuo jos išilgai vieno statinio, o q₂ = 4 µC – 10 cm nuo jos išilgai kito statinio. Raskite atstojamosios elektrinės jėgos, veikiančios q₃, modulį F.

q1 = 5 µCq2 = 4 µCq3 = 6 µCr13 = 3 cmr23 = 10 cm
F = N
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiVidutinis
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

Raskite šaltinio tiekiamą srovę IR1, tekančią per R1.

V1 = 12 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSunkus
R1​ = 30 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩIR2​AR4​15 ΩBR6​20 Ω

Raskite srovę IR2 per R2.

V1 = 9 VR1 = 30 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 ΩR5 = 25 ΩR6 = 20 Ω
IR2 = A
5.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis
+−Vs​20 Vt = 0R = 15 ΩL47 mHi(t)

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite ritėje sukauptą energiją W(∞), kai grandinė nusistovi, mJ.

Vs = 20 VR = 15 ΩL = 47 mH
W(∞) = mJ
6.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus
+−Vs​10 Vt = 0R = 4,7 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 20 V

Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 20 V su pažymėtu poliškumu. Per kiek laiko vC pasieks 17 V? Raskite t.

Vs = 10 VR = 4,7 kΩC = 68 µFvC(0) = 20 V
t = ms
7.Magnetiniai laukai ir indukcijaVidutinis
nBA = 200 cm², N = 200B = 0,4 T

200 vijų ritės plotas yra 200 cm². Ritė apverčiama (pasukama 180°) tolygiame 0,4 T lauke, statmenam jos plokštumai, per 10 ms. Raskite vidutinę indukuotą elektrovarą ε.

N = 200A = 200 cm²B = 0,4 TΔt = 10 ms
ε = V
8.Magnetiniai laukai ir indukcijaSunkus
l = 40 cmN = 200, ⌀ 5 cm

Ilgas oro šerdies solenoidas turi 200 vijų, 40 cm ilgį ir 5 cm skersmenį. Raskite jo savaiminės indukcijos induktyvumą L.

N = 200l = 40 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis
120 V50 HzR = 20 ΩL = 100 mHI

Rezistorius ir ritė lygiagrečiai prijungti prie 120 V (efektinė), 50 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos modulį |Z|.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 100 mH
|Z| = Ω
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus
50 V200 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 22 µF+−VC​

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 50 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite efektinę įtampą VC ant kondensatoriaus.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 22 µF
VC = V

3Tirpalai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: F = 34,16 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kiekvieno krūvio jėga

Teigiama kryptis į dešinę.

FL = +k·3·6 × 10⁻¹²/0,3² = 1,798 N
FR = +k·6·6 × 10⁻¹²/0,1² = 32,36 N

Atstojamoji jėga

F = 1,798 + (32,36) = 34,16 N → |F| = 34,16 N

Atsakymas

F = 34,16 N

Atstojamoji jėga nukreipta į dešinę.

2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: F = 300,4 N

Kulono dėsnis: du taškiniai krūviai traukia arba stumia vienas kitą jėga F = k·|q₁·q₂|/r², kur k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Taškinio krūvio lauko stipris E = k·|q|/r²; laukas nukreiptas nuo teigiamo krūvio ir į neigiamą. Kelių krūvių jėgos ir laukai sumuojami kaip vektoriai.

Kiekviena jėga, veikianti q₃

F1 = k·5·6 × 10⁻¹²/0,03² = 299,7 N
F2 = k·4·6 × 10⁻¹²/0,1² = 21,58 N

Vektorinė suma

F = √(299,7² + 21,58²) = 300,4 N

Atsakymas

F = 300,4 N
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: IR1 = 0,45 A

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R3 + R4 = 8 + 2 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 20·10/(20+10) = 6,667 Ω
Req = R1 + 6,667 = 20 + 6,667 = 26,67 Ω

Šaltinio srovė

Šaltinis mato tik Req, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.

IR1 = V1/Req = 12/26,67 = 0,45 A

Atsakymas

IR1 = 0,45 A
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: IR2 = 0,1437 A

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

R1​ = 30 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAR4​15 ΩBR6​20 Ω

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R5 + R6 = 25 + 20 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 11,25 Ω
R3 + 11,25 = 13,25 Ω
R2 ∥ 13,25 = 5,699 Ω
Req = R1 + 5,699 = 30 + 5,699 = 35,7 Ω

Šaltinio srovė

Šaltinis mato tik Req, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.

IR1 = V1/Req = 9/35,7 = 0,2521 A

Srovė per R₂

Atimkite įtampos kritimą ant R₁ ir gausite mazgo A įtampą, kuri yra įtampa ant R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,2521·30 = 1,437 V
IR2 = VA/R2 = 1,437/10 = 0,1437 A

Atsakymas

IR2 = 0,1437 A
5.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: W(∞) = 41,78 mJ

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 47 mH / 15 Ω = 3,133 ms
i(∞) = Vs/R = 20/15 = 1,333 A

Sukaupta energija

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·47·1,333² = 41,78 mJ

Atsakymas

W(∞) = 41,78 mJ
6.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: t = 114 ms

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.

vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 68 µF = 319,6 ms
vC(t) = 10 + (20 − 10)·e−t/τ

Išreiškite laiką

17 = 10 + (10)·e−t/τ → e−t/τ = (17 − 10)/(20 − 10) = 0,7
t = τ·ln((20 − 10)/(17 − 10)) = 319,6·ln(1,429) = 114 ms

Atsakymas

t = 114 ms
7.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: ε = 320 V

Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).

Srauto pokytis vienai vijai

ΔΦ = 2·0,4·0,02 = 0,016 Wb

Vidutinė elektrovara

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,016/0,01 = 320 V

Atsakymas

ε = 320 V
8.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: L = 246,7 µH

Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).

Skerspjūvis

A = π·(0,025)² = 0,001963 m²

Savaiminės indukcijos induktyvumas

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·200²·0,001963/0,4 = 0,0002467 H = 246,7 µH

Atsakymas

L = 246,7 µH
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: |Z| = 16,87 Ω

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyvioji varža

XL = ωL = 2π·50·0,1 = 31,42 Ω

Šakų srovės

Abi šakos prijungtos tiesiai prie maitinimo, todėl kiekvienai tenka visa įtampa V.

IR = V/R = 120/20 = 6 A
IX = V/XL = 120/31,42 = 3,82 A

Bendra srovė

Rezistoriaus srovė sutampa faze su V, o reaktyvioji srovė pasislinkusi 90°, todėl jos sudedamos kaip stačiojo trikampio statiniai.

I = √(IR² + IX²) = √(6² + 3,82²) = 7,113 A

Pilnutinė varža

|Z| = V/I = 120/7,113 = 16,87 Ω

Atsakymas

|Z| = 16,87 Ω
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: VC = 49,48 V

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (26,66)²) = 36,55 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 50/36,55 = 1,368 A

Įtampa ant kondensatoriaus

VC = I·XC = 1,368·36,17 = 49,48 V

Atsakymas

VC = 49,48 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism