Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas
VL = √3·Vph, IL = Iph
Trikampio (Δ) jungimas
VL = Vph, IL = √3·Iph
Bendra aktyvioji galia
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus
Δ: VL Y: VL/√3
Variklio naudojama galia
Pin = Pout/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas
a = N1/N2 = V1/V2
Srovių santykis
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Vardinė srovė
I = S/V
Perskaičiuota varža
Z1′ = a²·ZL
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui
Pcu = x²·Pcu,fl
Naudingumo koeficientas
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia
P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia
Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia
S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas
pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kampinis dažnis
ω = 2πf
Modulis ir kampas
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams
V = I·Z

Metodas

  1. Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
  2. Raskite kiekvieną reaktansą: XL = ωL ir XC = 1/(ωC).
  3. Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
  4. Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė
V = E + IaRa
Priešelektrovara ir momentas
E = k·ω, T = k·Ia
Greitis
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Galios
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Paleidimas
Istart = V/(Ra + Rst)
Greičio reguliavimas
SR = (n0 − nFL)/nFL
Didžiausia išvystoma galia
Pmax = V²/(4Ra)
Pertraukiklio pavara
Va = D·Vdc

Metodas

  1. Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža Ra ir priešelektrovara E nuosekliai.
  2. Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + Ia·Ra.
  3. Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·Ia, kai ω = 2π·n/60.
  4. Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·Ia, atimkite vario nuostolius Ia²·Ra, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis
ABCVL​ = 208 VIL​ = 25 Acos φ = 0,88induktyvus

Simetrinė trifazė apkrova ima 25 A linijinę srovę iš tinklo, kurio linijinė įtampa 208 V. Galios koeficientas 0,88 (induktyvus). Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

VL = 208 VIL = 25 Acos φ = 0,88
P = kW
2.Trifazė galiaSunkus
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Simetrinė trifazė apkrova iš 480 V (linijinė įtampa), 50 Hz tinklo ima 120 kW, kai galios koeficientas 0,7 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,92 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Raskite bendrą reaktyviąją galią QC, kurią turi tiekti kondensatorių baterija, kvar.

P = 120 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3.TransformatoriaiVidutinis
RL​ = 6 Ω21240 VV2​I1​ = ?I2​

Idealaus transformatoriaus, kurio transformacijos koeficientas N₁:N₂ = 2:1, pirminei apvijai prijungta 240 V įtampa. Prie antrinės apvijos prijungtas 6 Ω rezistorius. Raskite pirminę srovę I1.

N1:N2 = 2:1V1 = 240 VRL = 6 Ω
I1 = A
4.TransformatoriaiSunkus
pf 0,85250 kVA, η = 97%

Vienfazio 250 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 1500 W. Esant vardinei apkrovai ir galios koeficientui 0,85 (induktyvus), jo naudingumo koeficientas 97%. Raskite vario nuostolius Pcu,fl vatais esant vardinei apkrovai.

S = 250 kVAPcore = 1500 Wpf = 0,85η = 97%
Pcu,fl = W
5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis
P = 3 kWQSφ

Vienfazis variklis iš 240 V tinklo ima 3 kW, kai galios koeficientas 0,9 (induktyvus). Raskite linijos srovę I.

P = 3 kWpf = 0,9V = 240 V
I = A
6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus
P = 10 kWQ1​S1​φ1​QC​

Vienfazė apkrova iš 400 V, 60 Hz tinklo ima 10 kW, kai galios koeficientas 0,65 (induktyvus). Lygiagrečiai prijungtas kondensatorius padidina galios koeficientą iki 0,98. Raskite reikiamą talpą C.

P = 10 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis
Vf0​ = 50 HzRL = 200 mHC = ?

Nuosekli RLC grandinė, kurios L = 200 mH, turi rezonuoti esant 50 Hz. Raskite reikiamą talpą C.

f0 = 50 HzL = 200 mH
C = µF
8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus
230 V60 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 22 µFI

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 230 V (efektinė), 60 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 22 µF
I = A
9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis
+−VRa​M+−En = 1200 rpmT = ?

Nuolatinės srovės variklis duoda 5,5 kW mechaninės galios, sukdamasis 1200 aps./min. Raskite veleno momentą T.

P = 5,5 kWn = 1200 rpm
T = N·m
10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus
+−48 VRa​ = 1,2 ΩM+−EωT

Mažo nuolatinės srovės variklio inkaro varža yra 1,2 Ω, jis maitinamas 48 V. Neįskaitydami sukimosi nuostolių, raskite didžiausią mechaninę galią Pmax, kurią jis gali išvystyti bet kokiu greičiu.

V = 48 VRa = 1,2 Ω
Pmax = W

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: P = 7,926 kW

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, VL = √3·Vph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, IL = √3·Iph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Pilnutinė galia

S = √3·VL·IL = √3·208·25 = 9,007 kVA

Aktyvioji galia

P = S·cos φ = 9,007·0,88 = 7,926 kW

Atsakymas

P = 7,926 kW
2.Trifazė galia

Atsakymas: QC = 71,3 kvar

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, VL = √3·Vph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, IL = √3·Iph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia QC/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje VL, žvaigžde sujungtoje – VL/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0,7) = 120·1,02 = 122,4 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,92) = 120·0,426 = 51,12 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

QC = Q1 − Q2 = 71,3 kvar

Atsakymas

QC = 71,3 kvar
3.Transformatoriai

Atsakymas: I1 = 10 A

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Antrinė įtampa ir srovė

V2 = 240/2 = 120 V
I2 = 120/6 = 20 A

Pirminė srovė

Idealus transformatorius neturi nuostolių: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/2 = 10 A

Atsakymas

I1 = 10 A

Patikrinimas: iš pirminės pusės matoma apkrova yra a²·RL = 24 Ω, o 240/24 duoda tą pačią srovę.

4.Transformatoriai

Atsakymas: Pcu,fl = 5072 W

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·Pcu,fl. Naudingumo koeficientas η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), kur Pout = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Išėjimo ir įėjimo galia

Pout = 250·0,85 = 212,5 kW
Pin = 212500/0,97 = 219072 W

Bendri ir vario nuostoliai

Ploss = 219072 − 212500 = 6572 W
Pcu,fl = 6572 − 1500 = 5072 W

Atsakymas

Pcu,fl = 5072 W
5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I = 13,89 A

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Linijos srovė

Darbą atlieka tik aktyvioji galios dalis, todėl dalykite iš galios koeficiento.

I = P/(V·cos φ) = 3000/(240·0,9) = 13,89 A

Atsakymas

I = 13,89 A
6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: C = 160,2 µF

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(49,46°) = 11,69 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(11,48°) = 2,031 kvar
QC = Q1 − Q2 = 9,661 kvar

Talpa

Prie maitinimo prijungtas kondensatorius tiekia Q = V²·ωC.

C = QC/(2πf·V²) = 9661/(2π·60·400²) = 160,2 µF

Atsakymas

C = 160,2 µF
7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: C = 50,66 µF

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Rezonanso sąlyga

Rezonanso metu induktyvioji ir talpinė reaktyviosios varžos susiprastina: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314,2²·0,2) = 50,66 µF

Atsakymas

C = 50,66 µF
8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 1,661 A

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−113)²) = 138,5 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 230/138,5 = 1,661 A

Atsakymas

I = 1,661 A
9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: T = 43,77 N·m

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža Ra, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + Ia·Ra. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·Ia, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·Ia = T·ω; įėjimo galia yra V·Ia, o skirtumą sudaro vario nuostoliai Ia²Ra ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − Ra·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/Ra. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/Ra yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Greitis rad/s

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

Sukimo momentas

T = P/ω = 5500/125,7 = 43,77 N·m

Atsakymas

T = 43,77 N·m
10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: Pmax = 480 W

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža Ra, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + Ia·Ra. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·Ia, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·Ia = T·ω; įėjimo galia yra V·Ia, o skirtumą sudaro vario nuostoliai Ia²Ra ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − Ra·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/Ra. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/Ra yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Galia kaip priešelektrovaros funkcija

P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V

Didžiausia galia

Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 48²/(4·1,2) = 480 W

Atsakymas

Pmax = 480 W

Šiame taške naudingumo koeficientas tik 50 %, todėl tikri varikliai veikia gerokai didesniu nei pusė greičiu.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems