Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Srovių santykis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Vardinė srovė: I = S/V
Perskaičiuota varža: Z₁′ = a²·Z_L
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui: P_cu = x²·P_cu,fl
Naudingumo koeficientas: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas: x = √(P_core/P_cu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė: V = E + I_aR_a
Priešelektrovara ir momentas: E = k·ω, T = k·I_a
Greitis: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Galios: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Paleidimas: I_start = V/(R_a + R_st)
Greičio reguliavimas: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Didžiausia išvystoma galia: P_max = V²/(4R_a)
Pertraukiklio pavara: V_a = D·V_dc

Metodas

Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža R_a ir priešelektrovara E nuosekliai.
Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + I_a·R_a.
Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·I_a, kai ω = 2π·n/60.
Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·I_a, atimkite vario nuostolius I_a²·R_a, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė žvaigžde sujungta apkrova, kurios fazės impedansas 15 + j20 Ω, prijungta prie simetrinio trifazio tinklo, kurio linijinė įtampa 400 V. Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 400 VZ = 15 + j20 Ω vienai fazei

P = kW

2.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 415 V (linijinė įtampa), 60 Hz tinklo ima 120 kW, kai galios koeficientas 0,78 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,9 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti žvaigžde. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 120 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,9V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoriaiVidutinis

Idealaus transformatoriaus, kurio transformacijos koeficientas N₁:N₂ = 20:1, pirminei apvijai prijungta 4800 V įtampa. Prie antrinės apvijos prijungtas 48 Ω rezistorius. Raskite pirminę srovę I₁.

N₁:N₂ = 20:1V₁ = 4800 VR_L = 48 Ω

I₁ = A

4.TransformatoriaiSunkus

Vienfazio 500 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 2000 W, o vario nuostoliai esant vardinei apkrovai – 8000 W. Esant kokiai apkrovai S_η,max kVA jo naudingumo koeficientas didžiausias?

S = 500 kVAP_core = 2000 WP_cu,fl = 8000 W

S_η,max = kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Induktyvioji apkrova iš 120 V (efektinė) vienfazio tinklo ima 5 A ir 480 W. Modeliuokite ją kaip varžą R, nuosekliai sujungtą su reaktyviąja varža X. Raskite R.

V = 120 VI = 5 AP = 480 W

R = Ω

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

10 V (efektinė), 1000 Hz šaltinio vidinė pilnutinė varža Z_s = 8 + j3 Ω. Apkrovos pilnutinę varžą Z_L galima pasirinkti laisvai. Raskite didžiausią aktyviąją galią P_max, kurią galima perduoti apkrovai.

V_s = 10 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 8 + j3 Ω

P_max = W

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 24 V (efektinė), 500 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos fazės kampą φ laipsniais (teigiamas, kai srovė atsilieka nuo įtampos).

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 1 µF

φ = °

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 120 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite grandinės rezonansinį dažnį f₀.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

f₀ = Hz

9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis

Nuolatinės srovės variklis iš 24 V maitinimo vartoja 2 A. Jo inkaro varža yra 0,4 Ω, o sukimosi (trinties, ventiliacijos ir plieno) nuostoliai yra 2 W. Raskite jo naudingumo koeficientą η.

V = 24 VI_a = 2 AR_a = 0,4 ΩP_rot = 2 W

η = %

10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus

120 V nuolatinės srovės variklio inkaro varža yra 0,2 Ω. Raskite nuosekliąją paleidimo varžą R_st, kuri paleidimo srovę riboja iki 10 A.

V = 120 VR_a = 0,2 ΩI_max = 10 A

R_st = Ω

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: P = 3,84 kW

Fazinė įtampa

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

Fazinė srovė

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω

I_ph = 230,9/25 = 9,238 A

Bendra aktyvioji galia

Aktyviąją galią naudoja tik aktyvioji kiekvieno impedanso dalis.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,238²·15 = 3,84 kW

Atsakymas

P = 3,84 kW

Patikrinimas: cos φ = R/|Z| = 0,6, o √3·V_L·I_L·cos φ duoda tą pačią galią.

2.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 587,7 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,78) = 120·0,8023 = 96,27 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,9) = 120·0,4843 = 58,12 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 38,16 kvar

Vienos fazės talpa

Žvaigžde sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp linijos ir žvaigždės taško.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 12718/(377·239,6²) = 587,7 µF

Atsakymas

C_ph = 587,7 µF

3.Transformatoriai

Atsakymas: I₁ = 0,25 A

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Antrinė įtampa ir srovė

V₂ = 4800/20 = 240 V

I₂ = 240/48 = 5 A

Pirminė srovė

Idealus transformatorius neturi nuostolių: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/20 = 0,25 A

Atsakymas

I₁ = 0,25 A

Patikrinimas: iš pirminės pusės matoma apkrova yra a²·R_L = 19200 Ω, o 4800/19200 duoda tą pačią srovę.

4.Transformatoriai

Atsakymas: S_η,max = 250 kVA

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·P_cu,fl. Naudingumo koeficientas η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), kur P_out = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams

x²·8000 = 2000 → x = √(2000/8000) = 0,5

Apkrova esant didžiausiam naudingumo koeficientui

S_η,max = x·S = 0,5·500 = 250 kVA

Atsakymas

S_η,max = 250 kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: R = 19,2 Ω

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Varža iš aktyviosios galios

R = P/I² = 480/5² = 19,2 Ω

Atsakymas

R = 19,2 Ω

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: P_max = 3,125 W

Jungtinis suderinimas

Apkrovos reaktyvioji varža panaikina šaltinio reaktyviąją varžą, o apkrovos varža lygi šaltinio varžai.

Z_L = Z_s* = 8 − j3 Ω

Didžiausia galia

I = V_s/(2R_s) = 10/16 = 0,625 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 10²/(4·8) = 3,125 W

Atsakymas

P_max = 3,125 W

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: φ = −5,924 °

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−4,151)²) = 40,21 Ω

Fazės kampas

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−4,151/40) = −5,924°

Atsakymas

φ = −5,924°

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: f₀ = 277,1 Hz

Rezonansas

Rezonanso metu induktyvioji ir talpinė reaktyviosios varžos susiprastina: ωL = 1/(ωC). Maitinimo dažnis nesvarbus.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·2,2·10⁻⁶)) = 277,1 Hz

Atsakymas

f₀ = 277,1 Hz

9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: η = 92,5 %

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža R_a, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + I_a·R_a. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·I_a, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·I_a = T·ω; įėjimo galia yra V·I_a, o skirtumą sudaro vario nuostoliai I_a²R_a ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − R_a·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/R_a. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/R_a yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Galios

P_in = 24·2 = 48 W

P_dev = 23,2·2 = 46,4 W

P_out = 46,4 − 2 = 44,4 W

Naudingumo koeficientas

η = 44,4/48·100 = 92,5 %

Atsakymas

η = 92,5 %

10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: R_st = 11,8 Ω

Visa varža

R_a + R_st = 120/10 = 12 Ω

Paleidimo rezistorius

R_st = 12 − 0,2 = 11,8 Ω

Atsakymas

R_st = 11,8 Ω

Rezistorius pašalinamas pakopomis, kai variklis įsibėgėja ir priešelektrovara auga.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems