Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Srovių santykis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Vardinė srovė: I = S/V
Perskaičiuota varža: Z₁′ = a²·Z_L
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui: P_cu = x²·P_cu,fl
Naudingumo koeficientas: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas: x = √(P_core/P_cu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė: V = E + I_aR_a
Priešelektrovara ir momentas: E = k·ω, T = k·I_a
Greitis: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Galios: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Paleidimas: I_start = V/(R_a + R_st)
Greičio reguliavimas: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Didžiausia išvystoma galia: P_max = V²/(4R_a)
Pertraukiklio pavara: V_a = D·V_dc

Metodas

Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža R_a ir priešelektrovara E nuosekliai.
Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + I_a·R_a.
Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·I_a, kai ω = 2π·n/60.
Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·I_a, atimkite vario nuostolius I_a²·R_a, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė trikampiu sujungta apkrova, kurios fazės impedansas 16 + j12 Ω, prijungta prie simetrinio trifazio tinklo, kurio linijinė įtampa 480 V. Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 480 VZ = 16 + j12 Ω vienai fazei

P = kW

2.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 400 V (linijinė įtampa), 50 Hz tinklo ima 200 kW, kai galios koeficientas 0,72 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,92 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti trikampiu. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoriaiVidutinis

Idealaus transformatoriaus, kurio transformacijos koeficientas N₁:N₂ = 4:1, pirminei apvijai prijungta 480 V įtampa. Prie antrinės apvijos prijungtas 20 Ω rezistorius. Raskite pirminę srovę I₁.

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 480 VR_L = 20 Ω

I₁ = A

4.TransformatoriaiSunkus

Vienfazio 200 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 1000 W, o vario nuostoliai esant vardinei apkrovai – 3000 W. Esant kokiai apkrovai S_η,max kVA jo naudingumo koeficientas didžiausias?

S = 200 kVAP_core = 1000 WP_cu,fl = 3000 W

S_η,max = kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Dvi apkrovos lygiagrečiai prijungtos prie 230 V vienfazio tinklo: 10 kW apkrova, kurios galios koeficientas 0,75 (induktyvus), ir 13 kW apkrova, kurios galios koeficientas 0,95 (talpinis). Raskite bendrą iš tinklo imamą srovę I.

V = 230 VP₁ = 10 kW, pf₁ = 0,75 induktyvusP₂ = 13 kW, pf₂ = 0,95 talpinis

I = A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

Vienfazė apkrova iš 240 V, 50 Hz tinklo ima 5 kW, kai galios koeficientas 0,8 (induktyvus). Lygiagrečiai prijungtas kondensatorius padidina galios koeficientą iki 0,98. Raskite naują linijos srovę I_new.

P = 5 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,98V = 240 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 100 V (efektinė), 50 Hz maitinimo. Raskite grandinės galios koeficientą cos φ.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 100 µF

cos φ =

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 100 V (efektinė), 1000 Hz maitinimo. Raskite efektinę įtampą V_C ant kondensatoriaus.

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 100 µF

V_C = V

9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis

Nuolatinės srovės variklis, kurio k = 2 V·s/rad, maitinamas 240 V. Neįskaitydami visų nuostolių tuščiąja eiga, raskite jo tuščiosios eigos greitį n₀ aps./min.

V = 240 Vk = 2 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus

Mažo nuolatinės srovės variklio inkaro varža yra 1,5 Ω, jis maitinamas 48 V. Neįskaitydami sukimosi nuostolių, raskite didžiausią mechaninę galią P_max, kurią jis gali išvystyti bet kokiu greičiu.

V = 48 VR_a = 1,5 Ω

P_max = W

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: P = 27,65 kW

Fazinė įtampa

V_ph = V_L = 480 V

Fazinė srovė

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω

I_ph = 480/20 = 24 A

Bendra aktyvioji galia

Aktyviąją galią naudoja tik aktyvioji kiekvieno impedanso dalis.

P = 3·I_ph²·R = 3·24²·16 = 27,65 kW

Atsakymas

P = 27,65 kW

Patikrinimas: cos φ = R/|Z| = 0,8, o √3·V_L·I_L·cos φ duoda tą pačią galią.

2.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 713,4 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,72) = 200·0,9639 = 192,8 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 107,6 kvar

Vienos fazės talpa

Trikampiu sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp dviejų linijų.

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 35857/(314,2·400²) = 713,4 µF

Atsakymas

C_ph = 713,4 µF

3.Transformatoriai

Atsakymas: I₁ = 1,5 A

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Antrinė įtampa ir srovė

V₂ = 480/4 = 120 V

I₂ = 120/20 = 6 A

Pirminė srovė

Idealus transformatorius neturi nuostolių: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/4 = 1,5 A

Atsakymas

I₁ = 1,5 A

Patikrinimas: iš pirminės pusės matoma apkrova yra a²·R_L = 320 Ω, o 480/320 duoda tą pačią srovę.

4.Transformatoriai

Atsakymas: S_η,max = 115,5 kVA

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·P_cu,fl. Naudingumo koeficientas η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), kur P_out = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams

x²·3000 = 1000 → x = √(1000/3000) = 0,5774

Apkrova esant didžiausiam naudingumo koeficientui

S_η,max = x·S = 0,5774·200 = 115,5 kVA

Atsakymas

S_η,max = 115,5 kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I = 101,9 A

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Kiekvienos apkrovos reaktyvioji galia

Induktyvioji apkrova reaktyviąją galią ima (Q > 0); talpinė ją tiekia (Q < 0).

Q₁ = 10·tan(arccos 0,75) = 8,819 kvar

Q₂ = −13·tan(arccos 0,95) = −4,273 kvar

Sumos

P = 10 + 13 = 23 kW

Q = 8,819 + (−4,273) = 4,546 kvar

S = √(23² + 4,546²) = 23,45 kVA

Bendra srovė

I = S/V = 23445/230 = 101,9 A

Atsakymas

I = 101,9 A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I_new = 21,26 A

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(36,87°) = 3,75 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(11,48°) = 1,015 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 2,735 kvar

Nauja linijos srovė

I_new = P/(V·cos φ₂) = 5000/(240·0,98) = 21,26 A

Atsakymas

I_new = 21,26 A

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: cos φ = 0,7002

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

X_L = 47,12 Ω, X_C = 31,83 Ω

Pilnutinė varža

|Z| = √(15² + (15,29)²) = 21,42 Ω

Galios koeficientas

cos φ = R/|Z| = 15/21,42 = 0,7002

Grandinė induktyvioji, todėl galios koeficientas induktyvus (srovė atsilieka).

Atsakymas

cos φ = 0,7002

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: V_C = 1,155 V

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1,592 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (124,1)²) = 137,8 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 100/137,8 = 0,7256 A

Įtampa ant kondensatoriaus

V_C = I·X_C = 0,7256·1,592 = 1,155 V

Atsakymas

V_C = 1,155 V

9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: n₀ = 1146 rpm

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža R_a, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + I_a·R_a. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·I_a, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·I_a = T·ω; įėjimo galia yra V·I_a, o skirtumą sudaro vario nuostoliai I_a²R_a ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − R_a·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/R_a. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/R_a yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Tuščiosios eigos greitis

ω₀ = V/k = 240/2 = 120 rad/s

n₀ = 60·120/(2π) = 1146 rpm

Atsakymas

n₀ = 1146 rpm

10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: P_max = 384 W

Galia kaip priešelektrovaros funkcija

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V

Didžiausia galia

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 48²/(4·1,5) = 384 W

Atsakymas

P_max = 384 W

Šiame taške naudingumo koeficientas tik 50 %, todėl tikri varikliai veikia gerokai didesniu nei pusė greičiu.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems