Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Srovių santykis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Vardinė srovė: I = S/V
Perskaičiuota varža: Z₁′ = a²·Z_L
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui: P_cu = x²·P_cu,fl
Naudingumo koeficientas: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas: x = √(P_core/P_cu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė: V = E + I_aR_a
Priešelektrovara ir momentas: E = k·ω, T = k·I_a
Greitis: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Galios: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Paleidimas: I_start = V/(R_a + R_st)
Greičio reguliavimas: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Didžiausia išvystoma galia: P_max = V²/(4R_a)
Pertraukiklio pavara: V_a = D·V_dc

Metodas

Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža R_a ir priešelektrovara E nuosekliai.
Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + I_a·R_a.
Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·I_a, kai ω = 2π·n/60.
Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·I_a, atimkite vario nuostolius I_a²·R_a, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė žvaigžde sujungta apkrova, kurios fazės impedansas 8 + j6 Ω, prijungta prie simetrinio trifazio tinklo, kurio linijinė įtampa 415 V. Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 415 VZ = 8 + j6 Ω vienai fazei

P = kW

2.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 400 V (linijinė įtampa), 60 Hz tinklo ima 250 kW, kai galios koeficientas 0,65 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,95 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti trikampiu. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoriaiVidutinis

Vienfazis 100 kVA, 4800/240 V transformatorius veikia vardine apkrova. Laikykite jį idealiu. Raskite srovę I_LV žemosios įtampos apvijoje.

S = 100 kVAV₁ = 4800 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.TransformatoriaiSunkus

Vienfazio 100 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 300 W, o vario nuostoliai esant vardinei apkrovai – 450 W. Esant kokiai apkrovai S_η,max kVA jo naudingumo koeficientas didžiausias?

S = 100 kVAP_core = 300 WP_cu,fl = 450 W

S_η,max = kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Dvi apkrovos lygiagrečiai prijungtos prie 240 V vienfazio tinklo: 4 kW apkrova, kurios galios koeficientas 0,6 (induktyvus), ir 14 kW šildytuvas (galios koeficientas lygus vienetui). Raskite bendrą iš tinklo imamą srovę I.

V = 240 VP₁ = 4 kW, pf₁ = 0,6 induktyvusP₂ = 14 kW, pf₂ = 1

I = A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

Vienfazė apkrova iš 230 V, 60 Hz tinklo ima 50 kW, kai galios koeficientas 0,75 (induktyvus). Lygiagrečiai prijungtas kondensatorius padidina galios koeficientą iki 0,98. Raskite reikiamą talpą C.

P = 50 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,98V = 230 Vf = 60 Hz

C = µF

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Rezistorius ir kondensatorius lygiagrečiai prijungti prie 230 V (efektinė), 500 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos modulį |Z|.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Rezistorius R₁ nuosekliai sujungtas su lygiagrečiu R₂ ir kondensatoriaus C junginiu ir prijungtas prie 100 V (efektinė), 500 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos modulį |Z|.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 30 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis

Nuolatinės srovės variklis duoda 0,5 kW mechaninės galios, sukdamasis 1200 aps./min. Raskite veleno momentą T.

P = 0,5 kWn = 1200 rpm

T = N·m

10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus

Nuolatinės srovės variklis, kurio k = 1,2 V·s/rad, o R_a = 0,4 Ω, turi sukti 12 N·m apkrovą 800 aps./min greičiu. Raskite jam reikalingą inkaro įtampą V.

k = 1,2 V·s/radR_a = 0,4 ΩT = 12 N·mn = 800 rpm

V = V

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: P = 13,78 kW

Fazinė įtampa

V_ph = 415/√3 = 239,6 V

Fazinė srovė

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω

I_ph = 239,6/10 = 23,96 A

Bendra aktyvioji galia

Aktyviąją galią naudoja tik aktyvioji kiekvieno impedanso dalis.

P = 3·I_ph²·R = 3·23,96²·8 = 13,78 kW

Atsakymas

P = 13,78 kW

Patikrinimas: cos φ = R/|Z| = 0,8, o √3·V_L·I_L·cos φ duoda tą pačią galią.

2.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 1161 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,65) = 250·1,169 = 292,3 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,95) = 250·0,3287 = 82,17 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 210,1 kvar

Vienos fazės talpa

Trikampiu sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp dviejų linijų.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 70037/(377·400²) = 1161 µF

Atsakymas

C_ph = 1161 µF

3.Transformatoriai

Atsakymas: I_LV = 416,7 A

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Vardinė srovė

Abi apvijos perneša tą pačią pilnutinę galią.

I_LV = S/V = 100000/240 = 416,7 A

Atsakymas

I_LV = 416,7 A

4.Transformatoriai

Atsakymas: S_η,max = 81,65 kVA

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·P_cu,fl. Naudingumo koeficientas η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), kur P_out = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams

x²·450 = 300 → x = √(300/450) = 0,8165

Apkrova esant didžiausiam naudingumo koeficientui

S_η,max = x·S = 0,8165·100 = 81,65 kVA

Atsakymas

S_η,max = 81,65 kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I = 78,22 A

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Kiekvienos apkrovos reaktyvioji galia

Induktyvioji apkrova reaktyviąją galią ima (Q > 0); talpinė ją tiekia (Q < 0).

Q₁ = 4·tan(arccos 0,6) = 5,333 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Sumos

P = 4 + 14 = 18 kW

Q = 5,333 + 0 = 5,333 kvar

S = √(18² + 5,333²) = 18,77 kVA

Bendra srovė

I = S/V = 18774/240 = 78,22 A

Atsakymas

I = 78,22 A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: C = 1702 µF

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q₁ = P·tan φ₁ = 50·tan(41,41°) = 44,1 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 50·tan(11,48°) = 10,15 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 33,94 kvar

Talpa

Prie maitinimo prijungtas kondensatorius tiekia Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 33943/(2π·60·230²) = 1702 µF

Atsakymas

C = 1702 µF

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: |Z| = 6,415 Ω

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyvioji varža

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Šakų srovės

Abi šakos prijungtos tiesiai prie maitinimo, todėl kiekvienai tenka visa įtampa V.

I_R = V/R = 230/20 = 11,5 A

I_X = V/X_C = 230/6,773 = 33,96 A

Bendra srovė

Rezistoriaus srovė sutampa faze su V, o reaktyvioji srovė pasislinkusi 90°, todėl jos sudedamos kaip stačiojo trikampio statiniai.

I = √(I_R² + I_X²) = √(11,5² + 33,96²) = 35,85 A

Pilnutinė varža

|Z| = V/I = 230/35,85 = 6,415 Ω

Atsakymas

|Z| = 6,415 Ω

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: |Z| = 32,83 Ω

Reaktyvioji varža

X_C = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Lygiagretus junginys

Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš jungtinio kompleksinio skaičiaus, kad Z_p išskaidytumėte į realiąją ir menamąją dalis.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 5,661 − j11,74 Ω

Bendra pilnutinė varža

Z = 25 + 5,661 − j11,74 = 30,66 − j11,74 Ω

|Z| = √(30,66² + 11,74²) = 32,83 Ω

Atsakymas

|Z| = 32,83 Ω

9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: T = 3,979 N·m

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža R_a, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + I_a·R_a. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·I_a, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·I_a = T·ω; įėjimo galia yra V·I_a, o skirtumą sudaro vario nuostoliai I_a²R_a ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − R_a·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/R_a. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/R_a yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Greitis rad/s

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

Sukimo momentas

T = P/ω = 500/125,7 = 3,979 N·m

Atsakymas

T = 3,979 N·m

10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: V = 104,5 V

Priešelektrovara

E = 1,2·83,78 = 100,5 V

Inkaro srovė

I_a = 12/1,2 = 10 A

Inkaro įtampa

V = 100,5 + 10·0,4 = 104,5 V

Atsakymas

V = 104,5 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems