Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Srovių santykis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Vardinė srovė: I = S/V
Perskaičiuota varža: Z₁′ = a²·Z_L
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui: P_cu = x²·P_cu,fl
Naudingumo koeficientas: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas: x = √(P_core/P_cu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė: V = E + I_aR_a
Priešelektrovara ir momentas: E = k·ω, T = k·I_a
Greitis: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Galios: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Paleidimas: I_start = V/(R_a + R_st)
Greičio reguliavimas: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Didžiausia išvystoma galia: P_max = V²/(4R_a)
Pertraukiklio pavara: V_a = D·V_dc

Metodas

Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža R_a ir priešelektrovara E nuosekliai.
Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + I_a·R_a.
Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·I_a, kai ω = 2π·n/60.
Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·I_a, atimkite vario nuostolius I_a²·R_a, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis

Trifazis asinchroninis variklis esant vardinei apkrovai tiekia 90 kW mechaninės galios. Esant šiai apkrovai jo naudingumo koeficientas 91%, o galios koeficientas 0,88 (induktyvus). Tinklo linijinė įtampa 415 V. Raskite linijinę srovę I_L.

P_out = 90 kWη = 91%cos φ = 0,88V_L = 415 V

I_L = A

2.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 690 V (linijinė įtampa), 60 Hz tinklo ima 80 kW, kai galios koeficientas 0,75 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,98 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Raskite bendrą reaktyviąją galią Q_C, kurią turi tiekti kondensatorių baterija, kvar.

P = 80 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,98V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.TransformatoriaiVidutinis

Idealaus transformatoriaus, kurio transformacijos koeficientas N₁:N₂ = 10:1, pirminei apvijai prijungta 2300 V įtampa. Prie antrinės apvijos prijungtas 10 Ω rezistorius. Raskite pirminę srovę I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 2300 VR_L = 10 Ω

I₁ = A

4.TransformatoriaiSunkus

Vienfazio 25 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 150 W. Esant vardinei apkrovai ir galios koeficientui 0,9 (induktyvus), jo naudingumo koeficientas 96%. Raskite vario nuostolius P_cu,fl vatais esant vardinei apkrovai.

S = 25 kVAP_core = 150 Wpf = 0,9η = 96%

P_cu,fl = W

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Induktyvioji apkrova iš 240 V (efektinė) vienfazio tinklo ima 11 A ir 2376 W. Modeliuokite ją kaip varžą R, nuosekliai sujungtą su reaktyviąja varža X. Raskite X.

V = 240 VI = 11 AP = 2376 W

X = Ω

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

Vienfazė apkrova iš 230 V, 50 Hz tinklo ima 30 kW, kai galios koeficientas 0,65 (induktyvus). Lygiagrečiai prijungtas kondensatorius padidina galios koeficientą iki 0,9. Raskite naują linijos srovę I_new.

P = 30 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V = 230 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 12 V (efektinė), 50 Hz maitinimo. Raskite grandinės galios koeficientą cos φ.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF

cos φ =

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 10 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 1 µF

I = A

9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis

Nuolatinės srovės variklis duoda 7,5 kW mechaninės galios, sukdamasis 1450 aps./min. Raskite veleno momentą T.

P = 7,5 kWn = 1450 rpm

T = N·m

10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus

Mažo nuolatinės srovės variklio inkaro varža yra 1,2 Ω, jis maitinamas 24 V. Neįskaitydami sukimosi nuostolių, raskite didžiausią mechaninę galią P_max, kurią jis gali išvystyti bet kokiu greičiu.

V = 24 VR_a = 1,2 Ω

P_max = W

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: I_L = 156,4 A

Naudojama elektrinė galia

P_in = P_out/η = 90/0,91 = 98,9 kW

Linijos srovė

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 98901/(√3·415·0,88) = 156,4 A

Atsakymas

I_L = 156,4 A

2.Trifazė galia

Atsakymas: Q_C = 54,31 kvar

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,75) = 80·0,8819 = 70,55 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,98) = 80·0,2031 = 16,24 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 54,31 kvar

Atsakymas

Q_C = 54,31 kvar

3.Transformatoriai

Atsakymas: I₁ = 2,3 A

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Antrinė įtampa ir srovė

V₂ = 2300/10 = 230 V

I₂ = 230/10 = 23 A

Pirminė srovė

Idealus transformatorius neturi nuostolių: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 2,3 A

Atsakymas

I₁ = 2,3 A

Patikrinimas: iš pirminės pusės matoma apkrova yra a²·R_L = 1000 Ω, o 2300/1000 duoda tą pačią srovę.

4.Transformatoriai

Atsakymas: P_cu,fl = 787,5 W

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·P_cu,fl. Naudingumo koeficientas η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), kur P_out = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Išėjimo ir įėjimo galia

P_out = 25·0,9 = 22,5 kW

P_in = 22500/0,96 = 23438 W

Bendri ir vario nuostoliai

P_loss = 23438 − 22500 = 937,5 W

P_cu,fl = 937,5 − 150 = 787,5 W

Atsakymas

P_cu,fl = 787,5 W

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: X = 9,51 Ω

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Varža iš aktyviosios galios

R = P/I² = 2376/11² = 19,64 Ω

Reaktyvioji varža iš pilnutinės varžos

|Z| = V/I = 240/11 = 21,82 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(21,82² − 19,64²) = 9,51 Ω

Atsakymas

X = 9,51 Ω

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I_new = 144,9 A

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q₁ = P·tan φ₁ = 30·tan(49,46°) = 35,07 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 30·tan(25,84°) = 14,53 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 20,54 kvar

Nauja linijos srovė

I_new = P/(V·cos φ₂) = 30000/(230·0,9) = 144,9 A

Atsakymas

I_new = 144,9 A

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: cos φ = 0,1381

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

X_L = 31,42 Ω, X_C = 318,3 Ω

Pilnutinė varža

|Z| = √(40² + (−286,9)²) = 289,7 Ω

Galios koeficientas

cos φ = R/|Z| = 40/289,7 = 0,1381

Grandinė talpinė, todėl galios koeficientas talpinis (srovė pralenkia).

Atsakymas

cos φ = 0,1381

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 0,0206 A

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·1·10⁻⁶) = 795,8 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−481,6)²) = 485,3 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 10/485,3 = 0,0206 A

Atsakymas

I = 0,0206 A

9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: T = 49,39 N·m

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža R_a, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + I_a·R_a. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·I_a, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·I_a = T·ω; įėjimo galia yra V·I_a, o skirtumą sudaro vario nuostoliai I_a²R_a ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − R_a·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/R_a. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/R_a yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Greitis rad/s

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

Sukimo momentas

T = P/ω = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Atsakymas

T = 49,39 N·m

10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: P_max = 120 W

Galia kaip priešelektrovaros funkcija

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V

Didžiausia galia

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 24²/(4·1,2) = 120 W

Atsakymas

P_max = 120 W

Šiame taške naudingumo koeficientas tik 50 %, todėl tikri varikliai veikia gerokai didesniu nei pusė greičiu.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems